Appliquer l'inégalité, et voir ses limites

2.1 L'événement contraire

L'événement contraire de $\lvert X - \mu \rvert \geqslant \delta$ est $\lvert X - \mu \rvert < \delta$, c'est-à-dire $\mu - \delta < X < \mu + \delta$. On en déduit : $P\big(\mu - \delta < X < \mu + \delta\big) = P\big(\lvert X - \mu \rvert < \delta\big) \geqslant 1 - \frac{V(X)}{\delta^2}.$

2.2 Avec une loi binomiale

Exemple 4 (le bus). Dans une commune, un habitant sur quatre prend le bus chaque matin. On interroge $400$ habitants au hasard, ce que l'on assimile à un tirage avec remise. Le nombre $X$ de personnes qui prennent le bus suit la loi $\mathcal{B}(400\,;0{,}25)$. D'après le chapitre 15, $\mu = 400 \times 0{,}25 = 100$ et $V(X) = 100 \times 0{,}75 = 75$.

Avec $\delta = 20$ : $P(80 < X < 120) = P\big(\lvert X - 100 \rvert < 20\big) \geqslant 1 - \frac{75}{400} = 0{,}8125.$

2.3 Un intervalle non centré, une seule borne

L'inégalité porte sur un intervalle centré en $\mu$. Sinon, on se ramène à un intervalle centré.

Exemple 5 (intervalle non centré). Toujours avec $\mu = 100$ et $V(X) = 75$, minorons $P(85 < X < 120)$. L'intervalle $]85\,;115[$ est centré en $100$ et contenu dans $]85\,;120[$. Donc $P(85 < X < 120) \geqslant P\big(\lvert X - 100 \rvert < 15\big) \geqslant 1 - \frac{75}{15^2} = \frac23.$

Avec une seule borne. Si $X \geqslant 120$, alors $\lvert X - 100 \rvert \geqslant 20$. Donc $P(X \geqslant 120) \leqslant P\big(\lvert X - 100 \rvert \geqslant 20\big) \leqslant \frac{75}{400} = 0{,}1875.$

2.4 Une inégalité loin d'être optimale

Pour l'exemple 4, le calcul exact avec la loi binomiale donne $P(80 < X < 120) \approx 0{,}976$, alors que l'inégalité garantit $0{,}8125$.

L'écart de $2\sigma$ est encore plus parlant. Pour tout $X$, l'inégalité donne $P\big(\lvert X - \mu \rvert \geqslant 2\sigma\big) \leqslant \dfrac14$. Or, sur des lois usuelles, la vraie probabilité est bien plus petite :

C'est ce que montraient les simulations de Première : la proportion des cas où l'écart dépasse $2\sigma$ tourne souvent autour de $0{,}05$.

L'inégalité est donc loin d'être optimale. C'est la contrepartie de son caractère universel : elle vaut pour toutes les lois, y compris les plus défavorables (l'exercice 4 en donne une, où elle devient une égalité).

2.5 Pourquoi on la garde

• Elle s'applique sans connaître la loi, avec seulement $\mu$ et $V(X)$.
• Elle donne une garantie : une borne trop large reste une borne. C'est un raisonnement par condition suffisante, qui servira à choisir la taille d'un échantillon.
• Elle permet de démontrer la loi des grands nombres.