Simuler des échantillons avec Python

6.1 Simuler un échantillon

Ce programme reprend les listes vues en Première, sans notion nouvelle. En langage naturel, on écrirait « ← » pour l'affectation.

On reprend la loi des clémentines. Dans une liste de dix valeurs, chaque masse apparaît autant de fois que le demande sa probabilité. Tirer un indice au hasard entre $0$ et $9$ donne donc chaque masse avec la bonne probabilité.

from random import randint
from math import sqrt

urne = [60, 60, 70, 70, 70, 70, 80, 80, 80, 90]

def moyenne(n):
    ech = [urne[randint(0, 9)] for i in range(n)]
    return sum(ech) / n

def moyennes(N, n):
    return [moyenne(n) for i in range(N)]

6.2 L'écart type des moyennes

def ecart_type(L):
    m = sum(L) / len(L)
    return sqrt(sum([(x - m)**2 for x in L]) / len(L))

Une exécution avec $N = 1\,000$ et $n = 100$ a donné $s \approx 0{,}89$. La théorie annonce $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{9}{10} = 0{,}9$. L'accord est excellent.

6.3 La proportion des moyennes proches de $\mu$

def proportion(L, mu, e):
    proches = [m for m in L if abs(m - mu) <= e]
    return len(proches) / len(L)

La même exécution a donné :

La garantie vient de la leçon 3 : $P\Big(\lvert M_n - \mu \rvert < \dfrac{k\sigma}{\sqrt{n}}\Big) \geqslant 1 - \dfrac{1}{k^2}$. Elle est respectée, et loin d'être optimale. On retrouve le constat de Première : environ $95\,\%$ des moyennes sont à moins de $\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}$ de $\mu$.

Chaque exécution donne d'autres valeurs : ces résultats ne sont pas exacts, seule leur allure compte.