Développements, polarisation, angles

3.1 Développer

Propriété. Pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ : $\lVert\vec{u} + \vec{v}\rVert^2 = \lVert\vec{u}\rVert^2 + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \lVert\vec{v}\rVert^2, \qquad \lVert\vec{u} - \vec{v}\rVert^2 = \lVert\vec{u}\rVert^2 - 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \lVert\vec{v}\rVert^2,$ $\left(\vec{u} + \vec{v}\right) \cdot \left(\vec{u} - \vec{v}\right) = \lVert\vec{u}\rVert^2 - \lVert\vec{v}\rVert^2.$

Démonstration. $\lVert\vec{u} + \vec{v}\rVert^2 = \left(\vec{u} + \vec{v}\right) \cdot \left(\vec{u} + \vec{v}\right) = \vec{u} \cdot \vec{u} + \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{u} + \vec{v} \cdot \vec{v}$ par bilinéarité, et $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ par symétrie. Les deux autres égalités se démontrent de la même façon : ce sont les identités remarquables.

3.2 Formules de polarisation

En isolant $\vec{u} \cdot \vec{v}$ dans les égalités précédentes : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac12\left(\lVert\vec{u} + \vec{v}\rVert^2 - \lVert\vec{u}\rVert^2 - \lVert\vec{v}\rVert^2\right) = \frac12\left(\lVert\vec{u}\rVert^2 + \lVert\vec{v}\rVert^2 - \lVert\vec{u} - \vec{v}\rVert^2\right) = \frac14\left(\lVert\vec{u} + \vec{v}\rVert^2 - \lVert\vec{u} - \vec{v}\rVert^2\right).$ Ces formules de polarisation donnent un produit scalaire à partir de longueurs seulement.

Avec $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{AC}$, on a $\vec{u} - \vec{v} = \overrightarrow{CB}$, d'où $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac12\left(AB^2 + AC^2 - BC^2\right).$ C'est une autre écriture de la formule d'Al-Kashi de Première : $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\,AB \times AC \times \cos\widehat{BAC}$.

Exemple 9. Dans le cube, $AB = 1$, $AG = \sqrt3$ et $BG = \sqrt2$ (diagonale de la face $BCGF$). Donc $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AG} = \dfrac12\left(1 + 3 - 2\right) = 1$ : on retrouve l'exemple 2 avec des longueurs seulement.

Exemple 10. $\lVert\vec{u}\rVert = 2$, $\lVert\vec{v}\rVert = 3$ et $\lVert\vec{u} + \vec{v}\rVert = 4$. Alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac12\left(16 - 4 - 9\right) = \dfrac32$, puis $\lVert\vec{u} - \vec{v}\rVert^2 = 4 - 2 \times \dfrac32 + 9 = 10$, donc $\lVert\vec{u} - \vec{v}\rVert = \sqrt{10}$.

3.3 Calculer un angle

Méthode. Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont non nuls, l'angle géométrique $\theta$ entre eux (entre $0°$ et $180°$) vérifie $\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\lVert\vec{u}\rVert \times \lVert\vec{v}\rVert}.$ On calcule le produit scalaire et les normes, souvent avec des coordonnées dans un repère orthonormé, puis on trouve $\theta$ à la calculatrice.

Exemple 11. Dans le cube, l'angle $\widehat{CAF}$ : $\overrightarrow{AC}\,(1\,;1\,;0)$ et $\overrightarrow{AF}\,(1\,;0\,;1)$, donc $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AF} = 1$ et $AC = AF = \sqrt2$. Alors $\cos\widehat{CAF} = \dfrac{1}{\sqrt2 \times \sqrt2} = \dfrac12$ et $\widehat{CAF} = 60°$. C'est logique : le triangle $ACF$ a pour côtés trois diagonales de faces, il est équilatéral.

Exemple 12. L'angle entre les vecteurs $\overrightarrow{AG}$ et $\overrightarrow{BH}$ (deux grandes diagonales) : $\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt3 \times \sqrt3} = \dfrac13$, donc $\theta \approx 70{,}5°$.

Exemple 13. $A(1\,;0\,;2)$, $B(3\,;2\,;1)$ et $C(-2\,;0\,;5)$. Alors $\overrightarrow{AB}\,(2\,;2\,;-1)$, $\overrightarrow{AC}\,(-3\,;0\,;3)$, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -6 + 0 - 3 = -9$, $AB = 3$ et $AC = \sqrt{18} = 3\sqrt2$. Donc $\cos\widehat{BAC} = \dfrac{-9}{9\sqrt2} = -\dfrac{\sqrt2}{2}$ et $\widehat{BAC} = 135°$ : l'angle est obtus, car le produit scalaire est négatif.