Orthogonalité de deux droites, d'une droite et d'un plan

4.1 Droites orthogonales, droites perpendiculaires

Définition. Deux droites $d$ et $d'$, de vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{u}'$, sont orthogonales si $\vec{u} \cdot \vec{u}' = 0$. Cela revient à dire que leurs parallèles menées par un même point sont perpendiculaires.

Deux droites perpendiculaires sont deux droites orthogonales et sécantes (elles sont alors coplanaires).

Exemple 14. Dans le cube :

• $(AB)$ et $(BF)$ sont perpendiculaires : elles se coupent en $B$, et la face $ABFE$ est un carré ;
• $(AB)$ et $(CG)$ sont orthogonales, car $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CG} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BF} = 0$, mais elles ne se coupent pas (elles ne sont même pas coplanaires) : elles ne sont pas perpendiculaires ;
• piège : $(AB)$ et $(AD)$ sont toutes les deux orthogonales à $(AE)$, mais elles ne sont pas parallèles. Dans l'espace, deux droites orthogonales à une même droite ne sont pas forcément parallèles.

4.2 Droite orthogonale à un plan

Définition. Une droite $d$ est orthogonale à un plan $\mathcal{P}$ si elle est orthogonale à toutes les droites de $\mathcal{P}$.

Théorème. Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

Démonstration. Si $d$ est orthogonale au plan, elle est orthogonale en particulier à deux droites sécantes de ce plan. Réciproquement, soit $\vec{w}$ un vecteur directeur de $d$, et $\vec{u}$, $\vec{v}$ des vecteurs directeurs de deux droites sécantes du plan : ils ne sont pas colinéaires, et tout vecteur de la direction du plan s'écrit $a\vec{u} + b\vec{v}$ (chapitre 3). Par bilinéarité, $\vec{w} \cdot \left(a\vec{u} + b\vec{v}\right) = a\,\vec{w} \cdot \vec{u} + b\,\vec{w} \cdot \vec{v} = a \times 0 + b \times 0 = 0.$ Donc $\vec{w}$ est orthogonal à tout vecteur directeur d'une droite du plan.

Conséquence. Si une droite est orthogonale à un plan, elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan, même à celles qui ne la coupent pas.

Exemple 15. Dans le cube, $(AE)$ est orthogonale à $(AB)$ et à $(AD)$, deux droites sécantes du plan $(ABC)$. Donc $(AE)$ est orthogonale au plan $(ABC)$, et par conséquent à $(BD)$ et à $(AC)$.

Exemple 16. Dans le repère $(A\,;\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})$ : $\overrightarrow{AG}\,(1\,;1\,;1)$, $\overrightarrow{BD}\,(-1\,;1\,;0)$ et $\overrightarrow{BE}\,(-1\,;0\,;1)$. On calcule $\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{BD} = -1 + 1 + 0 = 0$ et $\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{BE} = -1 + 0 + 1 = 0$. Les droites $(BD)$ et $(BE)$ sont sécantes en $B$ : la diagonale $(AG)$ est orthogonale au plan $(BDE)$. Elle est donc aussi orthogonale à $(DE)$.

Exemple 17 (tétraèdre régulier, sans coordonnées). $ABCD$ est un tétraèdre régulier et $I$ le milieu de $[CD]$. Le triangle $ACD$ est équilatéral, donc sa médiane $(AI)$ est aussi une hauteur : $(AI) \perp (CD)$. De même, $(BI) \perp (CD)$. La droite $(CD)$ est orthogonale aux droites sécantes $(AI)$ et $(BI)$ du plan $(ABI)$ : elle est orthogonale à ce plan, donc à la droite $(AB)$. On retrouve le résultat de l'exemple 5 : deux arêtes opposées sont orthogonales.