Vecteur normal à un plan, plan médiateur

5.1 Vecteur normal

Définition. Un vecteur $\vec{n}$ non nul est normal à un plan $\mathcal{P}$ si sa direction est orthogonale à $\mathcal{P}$, c'est-à-dire si $\vec{n}$ est orthogonal à tous les vecteurs de la direction de $\mathcal{P}$.

D'après le théorème de la leçon 4, il suffit que $\vec{n}$ soit orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan. Tous les vecteurs normaux à un même plan sont colinéaires (admis).

Exemple 18. Dans le cube :

• $\overrightarrow{AE}$ est normal au plan $(ABC)$ (exemple 15) ;
• $\overrightarrow{AG}$ est normal au plan $(BDE)$ (exemple 16) ;
• $\overrightarrow{BH}\,(-1\,;1\,;1)$ est normal au plan $(ACF)$ : $\overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{AC} = -1 + 1 + 0 = 0$ et $\overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{AF} = -1 + 0 + 1 = 0$, avec $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AF}$ non colinéaires.

5.2 Plan passant par un point et normal à un vecteur

Propriété. Soit $A$ un point et $\vec{n}$ un vecteur non nul. L'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0$ est le plan $\mathcal{P}$ passant par $A$ et normal à $\vec{n}$.

Pourquoi ? Soit $\vec{u}$, $\vec{v}$ deux vecteurs non colinéaires de la direction de $\mathcal{P}$.

• Si $M \in \mathcal{P}$, le vecteur $\overrightarrow{AM}$ est dans la direction de $\mathcal{P}$, donc orthogonal à $\vec{n}$.
• Réciproquement, $\vec{n}$ n'est pas une combinaison de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ : sinon, $\vec{n} = a\vec{u} + b\vec{v}$ donnerait $\vec{n} \cdot \vec{n} = a\,\vec{n} \cdot \vec{u} + b\,\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$, ce qui est impossible car $\vec{n} \neq \vec{0}$. Donc $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{n})$ est une base de l'espace (chapitre 3), et $\overrightarrow{AM} = a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{n}$. Si $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0$, on obtient $c\,\lVert\vec{n}\rVert^2 = 0$, donc $c = 0$ : $\overrightarrow{AM} = a\vec{u} + b\vec{v}$, et $M \in \mathcal{P}$.

Méthode (tester si un point est dans le plan). On calcule $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n}$ : le point $M$ est dans $\mathcal{P}$ si et seulement si ce nombre est nul. Au chapitre 10, cette condition, écrite avec les coordonnées de $M$, donnera l'équation cartésienne du plan.

Exemple 19. Le plan $\mathcal{P}$ passe par $A(1\,;0\,;2)$ et il est normal à $\vec{n}\,(2\,;-1\,;3)$.

• $M(3\,;1\,;1)$ : $\overrightarrow{AM}\,(2\,;1\,;-1)$ et $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 4 - 1 - 3 = 0$, donc $M \in \mathcal{P}$.
• $N(0\,;2\,;3)$ : $\overrightarrow{AN}\,(-1\,;2\,;1)$ et $\overrightarrow{AN} \cdot \vec{n} = -2 - 2 + 3 = -1 \neq 0$, donc $N \notin \mathcal{P}$.

5.3 Conséquences

Soit $\mathcal{P}$ un plan de vecteur normal $\vec{n}$, et $d$ une droite de vecteur directeur $\vec{w}$.

• $d$ est orthogonale à $\mathcal{P}$ si et seulement si $\vec{w}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires.
• $d$ est parallèle à $\mathcal{P}$ (strictement, ou contenue dans $\mathcal{P}$) si et seulement si $\vec{w} \cdot \vec{n} = 0$, c'est-à-dire si $\vec{w}$ est dans la direction de $\mathcal{P}$.
• Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.

5.4 Plan médiateur d'un segment

Définition. Soit $A$ et $B$ deux points distincts. Le plan médiateur du segment $[AB]$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $MA = MB$.

Propriété. Le plan médiateur de $[AB]$ est le plan qui passe par le milieu $I$ de $[AB]$ et qui est normal au vecteur $\overrightarrow{AB}$.

Démonstration. Pour tout point $M$, d'après la leçon 3, $MA^2 - MB^2 = \left(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}\right) \cdot \left(\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB}\right).$ Or $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}$ ($I$ est le milieu de $[AB]$) et $\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{BA}$. Donc $MA^2 - MB^2 = 2\overrightarrow{MI} \cdot \overrightarrow{BA} = 2\,\overrightarrow{IM} \cdot \overrightarrow{AB}$. Comme $MA$ et $MB$ sont positifs, $MA = MB \iff MA^2 = MB^2 \iff \overrightarrow{IM} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$ : c'est la propriété 5.2 avec le point $I$ et le vecteur $\overrightarrow{AB}$.

C'est un exemple de lieu géométrique : l'ensemble des points qui vérifient une condition est un plan.

Exemple 20. Dans le cube, $AB = AD = 1$, $CB = CD = 1$ et $EB = ED = \sqrt2$ : les points $A$, $C$ et $E$ sont dans le plan médiateur de $[BD]$. Ils ne sont pas alignés, donc ce plan médiateur est le plan $(ACE)$ (qui contient aussi $G$). En particulier, $\overrightarrow{BD}$ est normal au plan $(ACE)$, et $(BD)$ est orthogonale à $(AG)$ et à $(CE)$.

Exemple 21. $A(1\,;2\,;-1)$ et $B(3\,;0\,;3)$. Le milieu de $[AB]$ est $I(2\,;1\,;1)$ et $\overrightarrow{AB}\,(2\,;-2\,;4)$. Pour $M(3\,;2\,;1)$ : $\overrightarrow{IM}\,(1\,;1\,;0)$ et $\overrightarrow{IM} \cdot \overrightarrow{AB} = 2 - 2 + 0 = 0$, donc $M$ est dans le plan médiateur. Vérification : $MA^2 = 4 + 0 + 4 = 8$ et $MB^2 = 0 + 4 + 4 = 8$.