Sinus et cosinus

Leçon 1 : Du cercle aux fonctions sinus et cosinus

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1.1 Le cercle trigonométrique

Dans un repère orthonormé d'origine $O$, le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$, parcouru dans le sens direct, c'est-à-dire le sens inverse des aiguilles d'une montre. On note $I$ le point de coordonnées $(1\,;0)$.

On enroule la droite des réels autour du cercle, en partant du point $I$. À chaque réel $x$ correspond ainsi un unique point $M$ du cercle, appelé image de $x$. Si $x > 0$, on tourne dans le sens direct ; si $x < 0$, dans l'autre sens. La longueur de l'arc parcouru vaut $|x|$ : c'est la mesure en radians.

Le périmètre du cercle vaut $2\pi$ : un tour complet mesure $2\pi$ radians, un demi-tour $\pi$ radians.

1.2 Cosinus et sinus d'un réel

Définition. Soit $x$ un réel et $M$ son image sur le cercle trigonométrique. Le cosinus de $x$, noté $\cos x$ ou $\cos(x)$, est l'abscisse de $M$. Le sinus de $x$, noté $\sin x$ ou $\sin(x)$, est son ordonnée : $M(\cos x\,;\sin x).$

Propriétés. Pour tout réel $x$ :

• $-1 \leq \cos x \leq 1$ et $-1 \leq \sin x \leq 1$, car $M$ est sur un cercle de rayon $1$ ;
• $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, par le théorème de Pythagore (la distance $OM$ vaut $1$).

Lien avec le triangle rectangle. Pour $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$, soit $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe des abscisses. Le triangle $OHM$ est rectangle en $H$, avec $OM = 1$ : on retrouve $\cos x = \dfrac{OH}{OM} = OH$ et $\sin x = \dfrac{HM}{OM} = HM$.

1.3 Valeurs remarquables

Ces valeurs sont à connaître par cœur. Un repère : de $0$ à $\dfrac{\pi}{2}$, le sinus prend les valeurs $\dfrac{\sqrt0}{2}$, $\dfrac{\sqrt1}{2}$, $\dfrac{\sqrt2}{2}$, $\dfrac{\sqrt3}{2}$, $\dfrac{\sqrt4}{2}$, et le cosinus prend les mêmes dans l'ordre inverse.

1.4 Angles associés

Les symétries du cercle donnent les autres valeurs. Pour tout réel $x$ :

On en déduit aussi $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$.

Exemple 1. $\cos\dfrac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = -\cos\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac12$ et $\sin\dfrac{2\pi}{3} = \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt3}{2}$.

Exemple 2. $\sin\dfrac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac12$ ; $\quad \cos\dfrac{5\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt3}{2}$ ; $\quad \sin\dfrac{7\pi}{6} = \sin\left(\pi + \dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac12$ ; $\quad \cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) = \cos\dfrac{3\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt2}{2}$.

1.5 Parité

Définition. Une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ est paire si $f(-x) = f(x)$ pour tout réel $x$ : sa courbe est alors symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Elle est impaire si $f(-x) = -f(x)$ pour tout réel $x$ : sa courbe est alors symétrique par rapport à l'origine du repère.

Propriété. Les fonctions cosinus et sinus sont définies sur $\mathbb{R}$. La fonction $\cos$ est paire, la fonction $\sin$ est impaire : $\cos(-x) = \cos x \qquad\text{et}\qquad \sin(-x) = -\sin x.$

Exemple 3. $f : x \mapsto x^2\cos x$ est paire, car $f(-x) = (-x)^2\cos(-x) = x^2\cos x$. La fonction $g : x \mapsto x\cos x$ est impaire, car $g(-x) = -x\cos(-x) = -g(x)$.

1.6 Périodicité

Définition. Soit $T > 0$. Une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ est périodique de période $T$ si $f(x + T) = f(x)$ pour tout réel $x$. Sa courbe se reproduit alors par la translation de vecteur $T\,\vec{\imath}$.

Propriété. Ajouter $2\pi$ à un réel, c'est faire un tour de plus : on revient au même point du cercle. Donc, pour tout réel $x$, $\cos(x + 2\pi) = \cos x \qquad\text{et}\qquad \sin(x + 2\pi) = \sin x.$ Les fonctions $\cos$ et $\sin$ sont périodiques de période $2\pi$.

Il suffit donc de tracer leurs courbes sur un intervalle de longueur $2\pi$, par exemple $[-\pi\,;\pi]$, puis de les reproduire par translation.

Exemple 4. $\dfrac{13\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} + 4\pi$, donc $\cos\dfrac{13\pi}{3} = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac12$ : on a fait deux tours de plus.

Exemple 5. $x \mapsto \cos(2x)$ est périodique de période $\pi$, car $\cos\big(2(x + \pi)\big) = \cos(2x + 2\pi) = \cos(2x)$.

1.7 Du cercle aux courbes

Quand $x$ augmente, le point $M$ tourne sur le cercle.

• Sa hauteur est $\sin x$. De $0$ à $\dfrac{\pi}{2}$, elle monte de $0$ à $1$ ; de $\dfrac{\pi}{2}$ à $\pi$, elle redescend à $0$ ; de $\pi$ à $\dfrac{3\pi}{2}$, elle descend à $-1$ ; de $\dfrac{3\pi}{2}$ à $2\pi$, elle revient à $0$. Cette hauteur, reportée en face de $x$, dessine la courbe de sinus.
• Son abscisse est $\cos x$. Elle part de $1$, passe par $0$ en $\dfrac{\pi}{2}$, atteint $-1$ en $\pi$, puis revient à $1$ en $2\pi$. Reportée de la même façon, elle dessine la courbe de cosinus.

La parité et la périodicité se voient sur le cercle : $-x$ est le symétrique de $x$ par rapport à l'axe des abscisses, et $x + 2\pi$ tombe sur le même point que $x$.

Leçon 2 : Dérivées de sinus et cosinus

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2.1 Observer, en zéro

Le taux de variation de la fonction sinus entre $0$ et $h$ vaut $\dfrac{\sin h - \sin 0}{h} = \dfrac{\sin h}{h}$.

Le premier taux semble tendre vers $1$, le second vers $0$ : les nombres dérivés valent $\sin'(0) = 1$ et $\cos'(0) = 0$. La tangente en $0$ à la courbe de sinus a pour équation $y = x$. Près de $0$, la courbe se confond presque avec cette droite.

2.2 Observer, partout

En déplaçant la tangente le long de la courbe de sinus, on lit sa pente.

La pente de la tangente au point d'abscisse $x$ semble toujours valoir $\cos x$.

2.3 Le théorème

Théorème (admis). Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur $\mathbb{R}$, et pour tout réel $x$ : $\sin'(x) = \cos x \qquad\text{et}\qquad \cos'(x) = -\sin x.$

La seconde formule se déduit de la première. En effet, $\cos x = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)$, et la dérivée d'une composée (chapitre 5) donne $\cos'(x) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = -\sin x.$

Conséquence. Étant dérivables, les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont continues sur $\mathbb{R}$ (chapitre 7).

Deux limites. Dire que $\sin'(0) = 1$ et que $\cos'(0) = 0$, c'est dire que $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x} = 0.$

2.4 Fonctions composées

La dérivée d'une composée (chapitre 5) donne, pour tous réels $a$ et $b$ : $\big(\sin(ax + b)\big)' = a\cos(ax + b) \qquad\text{et}\qquad \big(\cos(ax + b)\big)' = -a\sin(ax + b).$ Plus généralement, si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ : $(\sin u)' = u'\cos u \qquad\text{et}\qquad (\cos u)' = -u'\sin u.$

Exemple 6. $\big(\sin(3x)\big)' = 3\cos(3x)$ ; $\quad \left(\cos\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right)\right)' = -2\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right)$.

Exemple 7. Avec $u(x) = x^2$ : $\big(\sin(x^2)\big)' = 2x\cos(x^2)$. Avec $\left(\mathrm{e}^u\right)' = u'\mathrm{e}^u$ : $\left(\mathrm{e}^{\cos x}\right)' = -\sin x\,\mathrm{e}^{\cos x}$.

2.5 Produits, quotients, puissances

Les règles de calcul restent les mêmes.

Exemple 8. Un produit : $(x\sin x)' = \sin x + x\cos x$.

Exemple 9. Une puissance, avec $\left(u^2\right)' = 2u'u$ : $\left(\cos^2 x\right)' = -2\sin x\cos x$.

Exemple 10. Un quotient : pour tout réel $x$, $2 + \cos x > 0$, et $\left(\frac{\sin x}{2 + \cos x}\right)' = \frac{\cos x\,(2 + \cos x) + \sin x \times \sin x}{(2 + \cos x)^2} = \frac{2\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(2 + \cos x)^2} = \frac{2\cos x + 1}{(2 + \cos x)^2}.$

2.6 Tangentes

Exemple 11. La tangente à la courbe de sinus en $0$ a pour équation $y = \sin 0 + \cos 0 \times (x - 0)$, soit $y = x$. La tangente à la courbe de cosinus au point d'abscisse $\dfrac{\pi}{2}$ a pour équation $y = \cos\dfrac{\pi}{2} - \sin\dfrac{\pi}{2}\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right)$, soit $y = -x + \dfrac{\pi}{2}$.

2.7 En situation : une bouée sur la houle

Exemple 12. Une bouée monte et descend sur la houle. Sa hauteur par rapport au niveau moyen, en mètres, vaut $h(t) = 1{,}5\sin(0{,}5\,t)$, où $t$ est en secondes. Sa vitesse est la dérivée : $v(t) = h'(t) = 1{,}5 \times 0{,}5\cos(0{,}5\,t) = 0{,}75\cos(0{,}5\,t).$ À l'instant $0$, $h(0) = 0$ et $v(0) = 0{,}75$ : la bouée passe au niveau moyen à $0{,}75$ m/s, en montant. En $t = \pi$, soit après environ $3{,}1$ secondes, $h(\pi) = 1{,}5$ : c'est le sommet de la vague, et $v(\pi) = 0$. La bouée s'arrête un instant, puis redescend. Le mouvement se répète toutes les $4\pi \approx 12{,}6$ secondes.

Leçon 3 : Variations et courbes

Voir la vidéo de la leçon 3

3.1 Réduire l'intervalle d'étude

Les deux fonctions sont périodiques de période $2\pi$ : on les étudie sur $[-\pi\,;\pi]$. Comme $\cos$ est paire et $\sin$ impaire, on peut même se limiter à $[0\,;\pi]$, et compléter par symétrie.

3.2 Variations de cosinus

Sur $[0\,;\pi]$, $\cos'(x) = -\sin x$ et $\sin x \geq 0$, donc $\cos'(x) \leq 0$, et $\cos'$ ne s'annule qu'en $0$ et en $\pi$ : $\cos$ est strictement décroissante sur $[0\,;\pi]$, de $1$ à $-1$. Par parité, elle est strictement croissante sur $[-\pi\,;0]$.

Le maximum de $\cos$ vaut $1$, atteint en $0$ ; son minimum vaut $-1$, atteint en $-\pi$ et en $\pi$.

3.3 Variations de sinus

Sur $[-\pi\,;\pi]$, $\sin'(x) = \cos x$. Or $\cos x > 0$ sur $\left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right[$ et $\cos x < 0$ sur le reste de l'intervalle, sauf aux points $-\dfrac{\pi}{2}$ et $\dfrac{\pi}{2}$ où il s'annule.

3.4 Les courbes

Les courbes de sinus et de cosinus s'appellent des sinusoïdes. Elles ont la même forme : comme $\sin x = \cos\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right)$, la courbe de sinus est l'image de la courbe de cosinus par la translation de vecteur $\dfrac{\pi}{2}\,\vec{\imath}$.

Pour les tracer, on place les points des valeurs remarquables et les tangentes utiles : la tangente $y = x$ en $0$ pour sinus, les tangentes horizontales aux sommets.

Limites. Comme on l'a vu au chapitre 4, $\cos$ et $\sin$ n'ont pas de limite en $+\infty$ ni en $-\infty$ : elles oscillent sans fin entre $-1$ et $1$. Leur encadrement sert en revanche dans les théorèmes de comparaison.

Exemple 13. Pour tout réel $x$, $x - 1 \leq x + \cos x \leq x + 1$. Par comparaison, $\lim\limits_{x\to+\infty} (x + \cos x) = +\infty$ et $\lim\limits_{x\to-\infty} (x + \cos x) = -\infty$. De plus, $(x + \cos x)' = 1 - \sin x \geq 0$ : cette fonction est croissante sur $\mathbb{R}$.

Exemple 14. Pour $x > 0$, $-\dfrac1x \leq \dfrac{\sin x}{x} \leq \dfrac1x$. Par le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{\sin x}{x} = 0$.

3.5 Convexité

Pour tout réel $x$, $\sin''(x) = -\sin x$ et $\cos''(x) = -\cos x$.

• Sur $[0\,;\pi]$, $\sin x \geq 0$, donc $\sin'' \leq 0$ : $\sin$ est concave sur $[0\,;\pi]$. Sur $[-\pi\,;0]$, elle est convexe. En $0$, $\sin''$ s'annule en changeant de signe : le point d'abscisse $0$ est un point d'inflexion.
• Sur $\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$, $\cos x \geq 0$, donc $\cos$ est concave sur cet intervalle. Sur $\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\pi\right]$, elle est convexe. Les points d'abscisses $-\dfrac{\pi}{2}$ et $\dfrac{\pi}{2}$ sont des points d'inflexion.

Conséquence. Une fonction concave est sous ses tangentes (chapitre 5). Sur $[0\,;\pi]$, la courbe de sinus est donc sous sa tangente en $0$ : $\text{pour tout } x \in [0\,;\pi], \quad \sin x \leq x.$ Pour $x > \pi$, l'inégalité reste vraie, car $\sin x \leq 1 < \pi < x$.

3.6 Période de $\cos(\omega x)$ et $\sin(\omega x)$

Propriété. Pour $\omega > 0$, les fonctions $x \mapsto \cos(\omega x)$ et $x \mapsto \sin(\omega x)$ sont périodiques, de période $\dfrac{2\pi}{\omega}$.

En effet, $\cos\left(\omega\left(x + \dfrac{2\pi}{\omega}\right)\right) = \cos(\omega x + 2\pi) = \cos(\omega x)$, et de même pour le sinus.

Exemple 15. Étudions $f : x \mapsto \cos(2x)$. Elle est paire, et périodique de période $\pi$ : on l'étudie sur $\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$. On a $f'(x) = -2\sin(2x)$. Pour $x \in \left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$, $2x \in [0\,;\pi]$, donc $\sin(2x) \geq 0$ et $f'(x) \leq 0$ : $f$ décroît de $f(0) = 1$ à $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = -1$.

Exemple 16 : la tension d'une prise électrique. La tension, en volts, vaut $u(t) = 325\sin(100\pi\,t)$, où $t$ est en secondes. Sa période est $\dfrac{2\pi}{100\pi} = 0{,}02$ s. La tension fait donc $\dfrac{1}{0{,}02} = 50$ oscillations complètes par seconde : c'est la fréquence de $50$ hertz du réseau français. Elle varie de $-325$ à $325$ volts, et atteint son maximum pour la première fois en $t = 0{,}005$ s.

Leçon 4 : Résoudre $\cos x = a$ et $\sin x = a$

Voir la vidéo de la leçon 4

4.1 L'équation $\cos x = a$

Sur le cercle, $\cos x$ est une abscisse. Résoudre $\cos x = a$, c'est chercher les points du cercle d'abscisse $a$ : on trace la droite verticale d'équation $x = a$.

• Si $a > 1$ ou $a < -1$, la droite ne coupe pas le cercle : il n'y a aucune solution.
• Si $-1 < a < 1$, elle le coupe en deux points, symétriques par rapport à l'axe des abscisses.

Propriété. Pour tout $a \in [-1\,;1]$, il existe un unique réel $\alpha \in [0\,;\pi]$ tel que $\cos\alpha = a$. Les solutions de $\cos x = a$ sur $[-\pi\,;\pi]$ sont alors $\alpha$ et $-\alpha$.

Pourquoi. La fonction $\cos$ est continue et strictement décroissante sur $[0\,;\pi]$, de $1$ à $-1$ : le théorème des valeurs intermédiaires, dans le cas des fonctions strictement monotones (chapitre 7), donne l'unique réel $\alpha$. Par parité, $\cos(-\alpha) = a$, et il n'y a pas d'autre solution sur $[-\pi\,;0]$, où $\cos$ est aussi strictement monotone.

Cas particuliers sur $[-\pi\,;\pi]$.

Exemple 17. $\cos x = \dfrac12$ : on sait que $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac12$, donc $\alpha = \dfrac{\pi}{3}$. Sur $[-\pi\,;\pi]$, les solutions sont $-\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{\pi}{3}$.

Exemple 18. $\cos x = -\dfrac{\sqrt2}{2}$ : ici, $\alpha = \dfrac{3\pi}{4}$, car $\cos\dfrac{3\pi}{4} = -\cos\dfrac{\pi}{4}$. Les solutions sont $-\dfrac{3\pi}{4}$ et $\dfrac{3\pi}{4}$.

Exemple 19. $\cos x = 0{,}3$ : ce n'est pas une valeur remarquable. La touche $\cos^{-1}$ de la calculatrice, en radians, donne $\alpha \approx 1{,}266$. Les solutions sont $x \approx -1{,}266$ et $x \approx 1{,}266$.

La touche $\cos^{-1}$ renvoie le réel $\alpha$ de $[0\,;\pi]$. Il faut donc toujours ajouter la seconde solution $-\alpha$.

4.2 L'équation $\sin x = a$

Le programme cite le cosinus ; la méthode est la même avec le sinus. Ici, $\sin x$ est une ordonnée : on trace la droite horizontale d'équation $y = a$.

Propriété. Pour tout $a \in [-1\,;1]$, il existe un unique réel $\beta \in \left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$ tel que $\sin\beta = a$, car $\sin$ est continue et strictement croissante sur cet intervalle, de $-1$ à $1$. C'est le réel donné par la touche $\sin^{-1}$.

Comme $\sin(\pi - \beta) = \sin\beta$, le second point du cercle est celui de $\pi - \beta$. Pour rester dans $[-\pi\,;\pi]$ :

• si $0 < a < 1$, les solutions sont $\beta$ et $\pi - \beta$ ;
• si $-1 < a < 0$, les solutions sont $\beta$ et $-\pi - \beta$ ;
• si $a = 1$, l'unique solution est $\dfrac{\pi}{2}$ ; si $a = -1$, l'unique solution est $-\dfrac{\pi}{2}$ ;
• si $a = 0$, il y a trois solutions : $-\pi$, $0$ et $\pi$.

Plutôt que d'apprendre ces cas, on les lit sur le cercle.

Exemple 20. $\sin x = \dfrac12$ : les solutions sont $\dfrac{\pi}{6}$ et $\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$.

Exemple 21. $\sin x = -\dfrac{\sqrt3}{2}$ : on lit les deux points sous l'axe des abscisses. Les solutions sont $-\dfrac{\pi}{3}$ et $-\dfrac{2\pi}{3}$.

Exemple 22. $\sin x = 0{,}4$ : $\beta \approx 0{,}412$, et $\pi - \beta \approx 2{,}730$.

4.3 Sur tout $\mathbb{R}$, ou sur un autre intervalle

La périodicité donne toutes les solutions. Si $\cos\alpha = a$ et $\sin\beta = a$, alors, sur $\mathbb{R}$ :

• $\cos x = a \iff x = \alpha + 2k\pi$ ou $x = -\alpha + 2k\pi$, avec $k \in \mathbb{Z}$ ;
• $\sin x = a \iff x = \beta + 2k\pi$ ou $x = \pi - \beta + 2k\pi$, avec $k \in \mathbb{Z}$.

Exemple 23. Sur $\mathbb{R}$, $\cos x = \dfrac12 \iff x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ ou $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$, avec $k \in \mathbb{Z}$. Sur $[0\,;2\pi]$, on garde $\dfrac{\pi}{3}$ et $-\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{3}$.

4.4 Des équations qui s'y ramènent

Exemple 24. Résolvons $\cos(2x) = \dfrac12$ sur $[-\pi\,;\pi]$. On pose $X = 2x$ : $X = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$, donc $x = \pm\dfrac{\pi}{6} + k\pi$, avec $k \in \mathbb{Z}$. Sur l'intervalle, on trouve quatre solutions : $-\dfrac{5\pi}{6}$, $-\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{5\pi}{6}$.

Exemple 25. Résolvons $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$ sur $[-\pi\,;\pi]$. On pose $X = \cos x$ : $2X^2 - X - 1 = (X - 1)(2X + 1)$. Donc $\cos x = 1$ ou $\cos x = -\dfrac12$. Les solutions sont $0$, $-\dfrac{2\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$.

Leçon 5 : Résoudre $\cos x \leq a$ et l'analogue avec sinus

Voir la vidéo de la leçon 5

5.1 Un exemple, sur le cercle et sur la courbe

Résolvons $\cos x \leq \dfrac12$ sur $[-\pi\,;\pi]$.

Sur le cercle. On trace la droite verticale d'abscisse $\dfrac12$. Les points d'abscisse inférieure ou égale à $\dfrac12$ sont à gauche de cette droite. Ils forment un arc qui passe par le point de $\pi$. Sur l'intervalle, cet arc est coupé en deux morceaux, car $-\pi$ et $\pi$ sont les deux bornes : $\mathcal{S} = \left[-\pi\,;-\frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{\pi}{3}\,;\pi\right].$

Sur la courbe. La courbe de cosinus est sous la droite d'équation $y = \dfrac12$ sur ces deux intervalles.

Par les variations. Sur $[0\,;\pi]$, $\cos$ est strictement décroissante, donc $\cos x \leq \cos\dfrac{\pi}{3} \iff x \geq \dfrac{\pi}{3}$. La parité donne l'autre morceau.

5.2 Le cas général

Propriété. Soit $-1 < a < 1$ et $\alpha \in\, ]0\,;\pi[$ tel que $\cos\alpha = a$. Sur $[-\pi\,;\pi]$ :

• $\cos x \leq a \iff x \in [-\pi\,;-\alpha] \cup [\alpha\,;\pi]$ ;
• $\cos x \geq a \iff x \in [-\alpha\,;\alpha]$.

Avec une inégalité stricte, on ouvre les crochets en $\alpha$ et en $-\alpha$.

Cas extrêmes.

• Si $a \geq 1$, $\cos x \leq a$ est vraie pour tout $x$ : $\mathcal{S} = [-\pi\,;\pi]$.
• Si $a < -1$, $\cos x \leq a$ n'a aucune solution : $\mathcal{S} = \varnothing$.
• Si $a = -1$, $\cos x \leq -1$ a pour solutions $-\pi$ et $\pi$.

Exemple 26. $\cos x < \dfrac{\sqrt2}{2}$ : $\alpha = \dfrac{\pi}{4}$, et $\mathcal{S} = \left[-\pi\,;-\dfrac{\pi}{4}\right[ \cup \left]\dfrac{\pi}{4}\,;\pi\right]$.

Exemple 27. $\cos x \leq -\dfrac{\sqrt3}{2}$ : $\alpha = \dfrac{5\pi}{6}$, et $\mathcal{S} = \left[-\pi\,;-\dfrac{5\pi}{6}\right] \cup \left[\dfrac{5\pi}{6}\,;\pi\right]$.

Exemple 28. $\cos x \geq -\dfrac12$ : $\alpha = \dfrac{2\pi}{3}$, et $\mathcal{S} = \left[-\dfrac{2\pi}{3}\,;\dfrac{2\pi}{3}\right]$. De même, $\cos x > 0$ a pour ensemble de solutions $\left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right[$.

Exemple 29. $\cos x \leq 0{,}3$ : $\alpha \approx 1{,}266$, et $\mathcal{S} \approx [-\pi\,;-1{,}266] \cup [1{,}266\,;\pi]$.

Attention à l'intervalle. La forme de l'ensemble dépend de l'intervalle choisi. Sur $[0\,;2\pi]$, $\cos x \leq \dfrac12$ a pour ensemble de solutions un seul intervalle : $\left[\dfrac{\pi}{3}\,;\dfrac{5\pi}{3}\right]$.

5.3 Avec le sinus

On compare à la droite horizontale d'ordonnée $a$, et on lit l'arc sur le cercle.

Exemple 30. $\sin x \geq \dfrac12$ : on garde les points au-dessus de la droite. L'arc va de $\dfrac{\pi}{6}$ à $\dfrac{5\pi}{6}$, d'un seul tenant : $\mathcal{S} = \left[\dfrac{\pi}{6}\,;\dfrac{5\pi}{6}\right]$.

Exemple 31. $\sin x < \dfrac12$ : on prend tout le reste, $\mathcal{S} = \left[-\pi\,;\dfrac{\pi}{6}\right[ \cup \left]\dfrac{5\pi}{6}\,;\pi\right]$.

Exemple 32. $\sin x < -\dfrac{\sqrt2}{2}$ : on garde les points sous la droite, $\mathcal{S} = \left]-\dfrac{3\pi}{4}\,;-\dfrac{\pi}{4}\right[$.

Exemple 33. $\sin x \geq -\dfrac12$ : on enlève l'arc du bas, $\mathcal{S} = \left[-\pi\,;-\dfrac{5\pi}{6}\right] \cup \left[-\dfrac{\pi}{6}\,;\pi\right]$.

5.4 Étudier un signe

Ces inéquations donnent le signe d'une expression, donc celui d'une dérivée.

Exemple 34. Signe de $2\cos x + 1$ sur $[-\pi\,;\pi]$. On a $2\cos x + 1 \geq 0 \iff \cos x \geq -\dfrac12 \iff x \in \left[-\dfrac{2\pi}{3}\,;\dfrac{2\pi}{3}\right]$.

5.5 En situation

Exemple 35 : un panneau solaire. Un panneau reçoit une puissance, en watts, $P(\theta) = 400\cos\theta$, où $\theta \in \left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$ est l'angle entre les rayons du soleil et la perpendiculaire au panneau. Pour quels angles reçoit-il au moins $200$ watts ? $P(\theta) \geq 200 \iff \cos\theta \geq \frac12 \iff -\frac{\pi}{3} \leq \theta \leq \frac{\pi}{3}.$ L'écart ne doit pas dépasser $60$ degrés. Pour recevoir au moins $300$ watts, il faut $\cos\theta \geq 0{,}75$, soit un écart d'au plus $0{,}723$ radian environ, ou $41$ degrés.

Exemple 36 : la marée. Dans un port, la hauteur d'eau, en mètres, est modélisée par $h(t) = 6 + 4\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)$, où $t \in [-6\,;6]$ est le temps en heures, compté depuis la pleine mer. La hauteur vaut $10$ mètres à la pleine mer et $2$ mètres à la basse mer. Un bateau a besoin d'au moins $8$ mètres d'eau pour entrer : $h(t) \geq 8 \iff \cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) \geq \frac12 \iff -\frac{\pi}{3} \leq \frac{\pi t}{6} \leq \frac{\pi}{3} \iff -2 \leq t \leq 2.$ Le port est accessible de $2$ heures avant à $2$ heures après la pleine mer. Le modèle se répète toutes les $12$ heures.