Du cercle aux fonctions sinus et cosinus

1.1 Le cercle trigonométrique

Dans un repère orthonormé d'origine $O$, le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$, parcouru dans le sens direct, c'est-à-dire le sens inverse des aiguilles d'une montre. On note $I$ le point de coordonnées $(1\,;0)$.

On enroule la droite des réels autour du cercle, en partant du point $I$. À chaque réel $x$ correspond ainsi un unique point $M$ du cercle, appelé image de $x$. Si $x > 0$, on tourne dans le sens direct ; si $x < 0$, dans l'autre sens. La longueur de l'arc parcouru vaut $|x|$ : c'est la mesure en radians.

Le périmètre du cercle vaut $2\pi$ : un tour complet mesure $2\pi$ radians, un demi-tour $\pi$ radians.

1.2 Cosinus et sinus d'un réel

Définition. Soit $x$ un réel et $M$ son image sur le cercle trigonométrique. Le cosinus de $x$, noté $\cos x$ ou $\cos(x)$, est l'abscisse de $M$. Le sinus de $x$, noté $\sin x$ ou $\sin(x)$, est son ordonnée : $M(\cos x\,;\sin x).$

Propriétés. Pour tout réel $x$ :

• $-1 \leq \cos x \leq 1$ et $-1 \leq \sin x \leq 1$, car $M$ est sur un cercle de rayon $1$ ;
• $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, par le théorème de Pythagore (la distance $OM$ vaut $1$).

Lien avec le triangle rectangle. Pour $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$, soit $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe des abscisses. Le triangle $OHM$ est rectangle en $H$, avec $OM = 1$ : on retrouve $\cos x = \dfrac{OH}{OM} = OH$ et $\sin x = \dfrac{HM}{OM} = HM$.

1.3 Valeurs remarquables

Ces valeurs sont à connaître par cœur. Un repère : de $0$ à $\dfrac{\pi}{2}$, le sinus prend les valeurs $\dfrac{\sqrt0}{2}$, $\dfrac{\sqrt1}{2}$, $\dfrac{\sqrt2}{2}$, $\dfrac{\sqrt3}{2}$, $\dfrac{\sqrt4}{2}$, et le cosinus prend les mêmes dans l'ordre inverse.

1.4 Angles associés

Les symétries du cercle donnent les autres valeurs. Pour tout réel $x$ :

On en déduit aussi $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$.

Exemple 1. $\cos\dfrac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = -\cos\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac12$ et $\sin\dfrac{2\pi}{3} = \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt3}{2}$.

Exemple 2. $\sin\dfrac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac12$ ; $\quad \cos\dfrac{5\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt3}{2}$ ; $\quad \sin\dfrac{7\pi}{6} = \sin\left(\pi + \dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac12$ ; $\quad \cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) = \cos\dfrac{3\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt2}{2}$.

1.5 Parité

Définition. Une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ est paire si $f(-x) = f(x)$ pour tout réel $x$ : sa courbe est alors symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Elle est impaire si $f(-x) = -f(x)$ pour tout réel $x$ : sa courbe est alors symétrique par rapport à l'origine du repère.

Propriété. Les fonctions cosinus et sinus sont définies sur $\mathbb{R}$. La fonction $\cos$ est paire, la fonction $\sin$ est impaire : $\cos(-x) = \cos x \qquad\text{et}\qquad \sin(-x) = -\sin x.$

Exemple 3. $f : x \mapsto x^2\cos x$ est paire, car $f(-x) = (-x)^2\cos(-x) = x^2\cos x$. La fonction $g : x \mapsto x\cos x$ est impaire, car $g(-x) = -x\cos(-x) = -g(x)$.

1.6 Périodicité

Définition. Soit $T > 0$. Une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ est périodique de période $T$ si $f(x + T) = f(x)$ pour tout réel $x$. Sa courbe se reproduit alors par la translation de vecteur $T\,\vec{\imath}$.

Propriété. Ajouter $2\pi$ à un réel, c'est faire un tour de plus : on revient au même point du cercle. Donc, pour tout réel $x$, $\cos(x + 2\pi) = \cos x \qquad\text{et}\qquad \sin(x + 2\pi) = \sin x.$ Les fonctions $\cos$ et $\sin$ sont périodiques de période $2\pi$.

Il suffit donc de tracer leurs courbes sur un intervalle de longueur $2\pi$, par exemple $[-\pi\,;\pi]$, puis de les reproduire par translation.

Exemple 4. $\dfrac{13\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} + 4\pi$, donc $\cos\dfrac{13\pi}{3} = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac12$ : on a fait deux tours de plus.

Exemple 5. $x \mapsto \cos(2x)$ est périodique de période $\pi$, car $\cos\big(2(x + \pi)\big) = \cos(2x + 2\pi) = \cos(2x)$.

1.7 Du cercle aux courbes

Quand $x$ augmente, le point $M$ tourne sur le cercle.

• Sa hauteur est $\sin x$. De $0$ à $\dfrac{\pi}{2}$, elle monte de $0$ à $1$ ; de $\dfrac{\pi}{2}$ à $\pi$, elle redescend à $0$ ; de $\pi$ à $\dfrac{3\pi}{2}$, elle descend à $-1$ ; de $\dfrac{3\pi}{2}$ à $2\pi$, elle revient à $0$. Cette hauteur, reportée en face de $x$, dessine la courbe de sinus.
• Son abscisse est $\cos x$. Elle part de $1$, passe par $0$ en $\dfrac{\pi}{2}$, atteint $-1$ en $\pi$, puis revient à $1$ en $2\pi$. Reportée de la même façon, elle dessine la courbe de cosinus.

La parité et la périodicité se voient sur le cercle : $-x$ est le symétrique de $x$ par rapport à l'axe des abscisses, et $x + 2\pi$ tombe sur le même point que $x$.