Dérivées de sinus et cosinus

2.1 Observer, en zéro

Le taux de variation de la fonction sinus entre $0$ et $h$ vaut $\dfrac{\sin h - \sin 0}{h} = \dfrac{\sin h}{h}$.

Le premier taux semble tendre vers $1$, le second vers $0$ : les nombres dérivés valent $\sin'(0) = 1$ et $\cos'(0) = 0$. La tangente en $0$ à la courbe de sinus a pour équation $y = x$. Près de $0$, la courbe se confond presque avec cette droite.

2.2 Observer, partout

En déplaçant la tangente le long de la courbe de sinus, on lit sa pente.

La pente de la tangente au point d'abscisse $x$ semble toujours valoir $\cos x$.

2.3 Le théorème

Théorème (admis). Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur $\mathbb{R}$, et pour tout réel $x$ : $\sin'(x) = \cos x \qquad\text{et}\qquad \cos'(x) = -\sin x.$

La seconde formule se déduit de la première. En effet, $\cos x = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)$, et la dérivée d'une composée (chapitre 5) donne $\cos'(x) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = -\sin x.$

Conséquence. Étant dérivables, les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont continues sur $\mathbb{R}$ (chapitre 7).

Deux limites. Dire que $\sin'(0) = 1$ et que $\cos'(0) = 0$, c'est dire que $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x} = 0.$

2.4 Fonctions composées

La dérivée d'une composée (chapitre 5) donne, pour tous réels $a$ et $b$ : $\big(\sin(ax + b)\big)' = a\cos(ax + b) \qquad\text{et}\qquad \big(\cos(ax + b)\big)' = -a\sin(ax + b).$ Plus généralement, si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ : $(\sin u)' = u'\cos u \qquad\text{et}\qquad (\cos u)' = -u'\sin u.$

Exemple 6. $\big(\sin(3x)\big)' = 3\cos(3x)$ ; $\quad \left(\cos\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right)\right)' = -2\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right)$.

Exemple 7. Avec $u(x) = x^2$ : $\big(\sin(x^2)\big)' = 2x\cos(x^2)$. Avec $\left(\mathrm{e}^u\right)' = u'\mathrm{e}^u$ : $\left(\mathrm{e}^{\cos x}\right)' = -\sin x\,\mathrm{e}^{\cos x}$.

2.5 Produits, quotients, puissances

Les règles de calcul restent les mêmes.

Exemple 8. Un produit : $(x\sin x)' = \sin x + x\cos x$.

Exemple 9. Une puissance, avec $\left(u^2\right)' = 2u'u$ : $\left(\cos^2 x\right)' = -2\sin x\cos x$.

Exemple 10. Un quotient : pour tout réel $x$, $2 + \cos x > 0$, et $\left(\frac{\sin x}{2 + \cos x}\right)' = \frac{\cos x\,(2 + \cos x) + \sin x \times \sin x}{(2 + \cos x)^2} = \frac{2\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(2 + \cos x)^2} = \frac{2\cos x + 1}{(2 + \cos x)^2}.$

2.6 Tangentes

Exemple 11. La tangente à la courbe de sinus en $0$ a pour équation $y = \sin 0 + \cos 0 \times (x - 0)$, soit $y = x$. La tangente à la courbe de cosinus au point d'abscisse $\dfrac{\pi}{2}$ a pour équation $y = \cos\dfrac{\pi}{2} - \sin\dfrac{\pi}{2}\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right)$, soit $y = -x + \dfrac{\pi}{2}$.

2.7 En situation : une bouée sur la houle

Exemple 12. Une bouée monte et descend sur la houle. Sa hauteur par rapport au niveau moyen, en mètres, vaut $h(t) = 1{,}5\sin(0{,}5\,t)$, où $t$ est en secondes. Sa vitesse est la dérivée : $v(t) = h'(t) = 1{,}5 \times 0{,}5\cos(0{,}5\,t) = 0{,}75\cos(0{,}5\,t).$ À l'instant $0$, $h(0) = 0$ et $v(0) = 0{,}75$ : la bouée passe au niveau moyen à $0{,}75$ m/s, en montant. En $t = \pi$, soit après environ $3{,}1$ secondes, $h(\pi) = 1{,}5$ : c'est le sommet de la vague, et $v(\pi) = 0$. La bouée s'arrête un instant, puis redescend. Le mouvement se répète toutes les $4\pi \approx 12{,}6$ secondes.