Résoudre $\cos x = a$ et $\sin x = a$

4.1 L'équation $\cos x = a$

Sur le cercle, $\cos x$ est une abscisse. Résoudre $\cos x = a$, c'est chercher les points du cercle d'abscisse $a$ : on trace la droite verticale d'équation $x = a$.

• Si $a > 1$ ou $a < -1$, la droite ne coupe pas le cercle : il n'y a aucune solution.
• Si $-1 < a < 1$, elle le coupe en deux points, symétriques par rapport à l'axe des abscisses.

Propriété. Pour tout $a \in [-1\,;1]$, il existe un unique réel $\alpha \in [0\,;\pi]$ tel que $\cos\alpha = a$. Les solutions de $\cos x = a$ sur $[-\pi\,;\pi]$ sont alors $\alpha$ et $-\alpha$.

Pourquoi. La fonction $\cos$ est continue et strictement décroissante sur $[0\,;\pi]$, de $1$ à $-1$ : le théorème des valeurs intermédiaires, dans le cas des fonctions strictement monotones (chapitre 7), donne l'unique réel $\alpha$. Par parité, $\cos(-\alpha) = a$, et il n'y a pas d'autre solution sur $[-\pi\,;0]$, où $\cos$ est aussi strictement monotone.

Cas particuliers sur $[-\pi\,;\pi]$.

Exemple 17. $\cos x = \dfrac12$ : on sait que $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac12$, donc $\alpha = \dfrac{\pi}{3}$. Sur $[-\pi\,;\pi]$, les solutions sont $-\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{\pi}{3}$.

Exemple 18. $\cos x = -\dfrac{\sqrt2}{2}$ : ici, $\alpha = \dfrac{3\pi}{4}$, car $\cos\dfrac{3\pi}{4} = -\cos\dfrac{\pi}{4}$. Les solutions sont $-\dfrac{3\pi}{4}$ et $\dfrac{3\pi}{4}$.

Exemple 19. $\cos x = 0{,}3$ : ce n'est pas une valeur remarquable. La touche $\cos^{-1}$ de la calculatrice, en radians, donne $\alpha \approx 1{,}266$. Les solutions sont $x \approx -1{,}266$ et $x \approx 1{,}266$.

La touche $\cos^{-1}$ renvoie le réel $\alpha$ de $[0\,;\pi]$. Il faut donc toujours ajouter la seconde solution $-\alpha$.

4.2 L'équation $\sin x = a$

Le programme cite le cosinus ; la méthode est la même avec le sinus. Ici, $\sin x$ est une ordonnée : on trace la droite horizontale d'équation $y = a$.

Propriété. Pour tout $a \in [-1\,;1]$, il existe un unique réel $\beta \in \left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$ tel que $\sin\beta = a$, car $\sin$ est continue et strictement croissante sur cet intervalle, de $-1$ à $1$. C'est le réel donné par la touche $\sin^{-1}$.

Comme $\sin(\pi - \beta) = \sin\beta$, le second point du cercle est celui de $\pi - \beta$. Pour rester dans $[-\pi\,;\pi]$ :

• si $0 < a < 1$, les solutions sont $\beta$ et $\pi - \beta$ ;
• si $-1 < a < 0$, les solutions sont $\beta$ et $-\pi - \beta$ ;
• si $a = 1$, l'unique solution est $\dfrac{\pi}{2}$ ; si $a = -1$, l'unique solution est $-\dfrac{\pi}{2}$ ;
• si $a = 0$, il y a trois solutions : $-\pi$, $0$ et $\pi$.

Plutôt que d'apprendre ces cas, on les lit sur le cercle.

Exemple 20. $\sin x = \dfrac12$ : les solutions sont $\dfrac{\pi}{6}$ et $\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$.

Exemple 21. $\sin x = -\dfrac{\sqrt3}{2}$ : on lit les deux points sous l'axe des abscisses. Les solutions sont $-\dfrac{\pi}{3}$ et $-\dfrac{2\pi}{3}$.

Exemple 22. $\sin x = 0{,}4$ : $\beta \approx 0{,}412$, et $\pi - \beta \approx 2{,}730$.

4.3 Sur tout $\mathbb{R}$, ou sur un autre intervalle

La périodicité donne toutes les solutions. Si $\cos\alpha = a$ et $\sin\beta = a$, alors, sur $\mathbb{R}$ :

• $\cos x = a \iff x = \alpha + 2k\pi$ ou $x = -\alpha + 2k\pi$, avec $k \in \mathbb{Z}$ ;
• $\sin x = a \iff x = \beta + 2k\pi$ ou $x = \pi - \beta + 2k\pi$, avec $k \in \mathbb{Z}$.

Exemple 23. Sur $\mathbb{R}$, $\cos x = \dfrac12 \iff x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ ou $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$, avec $k \in \mathbb{Z}$. Sur $[0\,;2\pi]$, on garde $\dfrac{\pi}{3}$ et $-\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{3}$.

4.4 Des équations qui s'y ramènent

Exemple 24. Résolvons $\cos(2x) = \dfrac12$ sur $[-\pi\,;\pi]$. On pose $X = 2x$ : $X = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$, donc $x = \pm\dfrac{\pi}{6} + k\pi$, avec $k \in \mathbb{Z}$. Sur l'intervalle, on trouve quatre solutions : $-\dfrac{5\pi}{6}$, $-\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{5\pi}{6}$.

Exemple 25. Résolvons $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$ sur $[-\pi\,;\pi]$. On pose $X = \cos x$ : $2X^2 - X - 1 = (X - 1)(2X + 1)$. Donc $\cos x = 1$ ou $\cos x = -\dfrac12$. Les solutions sont $0$, $-\dfrac{2\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$.