Définition de la fonction exponentielle

1.1 Une grandeur qui pousse d'autant plus vite qu'elle est grande

Un levain est un mélange de farine et d'eau qui fermente pour faire du pain. Plus il y en a, plus il gonfle vite : deux fois plus de levain, c'est une vitesse deux fois plus grande. Si $f(t)$ est la masse à l'instant $t$, la vitesse à laquelle elle change est le nombre dérivé $f'(t)$, et la situation s'écrit $f'(t) = k\,f(t).$ Le cas le plus simple est $k = 1$ : on cherche une fonction égale à sa dérivée.

1.2 Aucune fonction connue ne convient

À chaque fois, la fonction change de forme. Pour un polynôme, c'est même impossible : la dérivée d'un polynôme non nul a un degré de moins, donc elle ne lui est jamais égale. Seule la fonction nulle est égale à sa dérivée parmi les polynômes, et elle ne nous apprend rien.

1.3 Définition

Définition. Il existe une unique fonction $f$, dérivable sur $\mathbb{R}$, telle que $f' = f \quad \text{et} \quad f(0) = 1.$ Cette fonction s'appelle la fonction exponentielle. On la note $\exp$, et on lit « exp de $x$ » pour $\exp(x)$.

L'existence et l'unicité sont admises. On retient donc : $\exp' = \exp \quad \text{et} \quad \exp(0) = 1.$

1.4 Sur la courbe

Dire que $\exp'(x) = \exp(x)$, c'est dire que la pente de la tangente en un point de la courbe est égale à l'ordonnée de ce point. Plus la courbe est haute, plus elle est raide : plus elle monte, plus elle monte vite.

1.5 Tangente au point d'abscisse 0

On a $\exp'(0) = \exp(0) = 1$. La tangente à la courbe au point d'abscisse $0$ a pour équation $y = \exp(0) + \exp'(0)(x - 0)$, soit $y = x + 1.$ Près de $0$, la courbe et sa tangente se confondent presque. C'est l'approximation linéaire du chapitre 5 : pour $h$ proche de $0$, $\exp(h) \approx 1 + h.$

Exemple 1. $\exp(0{,}01) \approx 1{,}01$ et $\exp(-0{,}02) \approx 0{,}98$.

1.6 Dériver avec exp

La fonction $\exp$ se dérive avec les règles habituelles (somme, produit, quotient).

Exemple 2. Soit $f(x) = 3\exp(x) + x^2$. Alors $f'(x) = 3\exp(x) + 2x$.

Exemple 3. Soit $g(x) = x\exp(x)$. C'est un produit, avec $u(x) = x$ et $v(x) = \exp(x)$ : $g'(x) = 1 \times \exp(x) + x \times \exp(x) = (x + 1)\exp(x).$

1.7 Une autre valeur de départ

Soit $c$ un réel et $f(x) = c\exp(x)$. Alors $f'(x) = c\exp(x) = f(x)$ et $f(0) = c\exp(0) = c$. La fonction $x \mapsto c\exp(x)$ est égale à sa dérivée et vaut $c$ en $0$.

Exemple 4. La fonction $x \mapsto 5\exp(x)$ est égale à sa dérivée et vaut $5$ en $0$.