Relation fondamentale et nombre e

3.1 Un constat

La machine donne $\exp(1) \approx 2{,}718$, $\exp(2) \approx 7{,}389$ et $\exp(3) \approx 20{,}086$. Or $2{,}718 \times 7{,}389 \approx 20{,}08$. Aux arrondis près, $\exp(1 + 2) = \exp(1) \times \exp(2)$ : une somme dans la parenthèse, un produit à l'arrivée.

3.2 D'où cela vient

La méthode d'Euler donne une explication. Avec un pas $h$ : $\exp(nh) \approx (1 + h)^n, \qquad \exp(mh) \approx (1 + h)^m,$ $\exp\big((n + m)h\big) \approx (1 + h)^{n + m} = (1 + h)^n \times (1 + h)^m.$ Avancer de deux longueurs revient à multiplier les deux facteurs. Ce n'est pas une démonstration, mais c'est la bonne idée.

3.3 La relation fondamentale

Propriété (admise). Pour tous réels $x$ et $y$, $\exp(x + y) = \exp(x)\exp(y).$

Les mots « pour tous » comptent : la relation est vraie quels que soient les deux nombres, positifs, négatifs ou nuls.

Exemple 9. $\exp(2) \times \exp(-5) = \exp(2 + (-5)) = \exp(-3)$.

3.4 Conséquences

En prenant $y = -x$, on obtient, pour tout réel $x$, $\exp(x)\exp(-x) = \exp(0) = 1.$

L'exponentielle ne s'annule jamais. Raisonnons par l'absurde. Supposons qu'il existe un réel $a$ tel que $\exp(a) = 0$. Alors $\exp(a)\exp(-a) = 0$. Or ce produit vaut $1$ : c'est impossible. Donc, pour tout réel $x$, $\exp(x) \neq 0$.

On peut alors diviser par $\exp(x)$ : $\exp(-x) = \frac{1}{\exp(x)}.$

3.5 Le nombre $\mathrm{e}$

Définition. Le nombre $\mathrm{e}$ est l'image de $1$ par la fonction exponentielle : $\mathrm{e} = \exp(1) \approx 2{,}718.$

Avec la relation fondamentale :

• $\exp(2) = \exp(1 + 1) = \mathrm{e} \times \mathrm{e} = \mathrm{e}^2$ ;
• $\exp(3) = \mathrm{e}^3$ ;
• $\exp(-1) = \dfrac{1}{\mathrm{e}}$.

Plus généralement, pour tout entier relatif $n$, $\exp(n) = \mathrm{e}^n$.

3.6 La notation $\mathrm{e}^x$

Cette écriture est si pratique qu'on l'étend à tous les réels.

Notation. Pour tout réel $x$, on note $\exp(x) = \mathrm{e}^x$.

Pour $x$ non entier, ce n'est pas un produit de facteurs répétés : c'est une notation. Elle est bien choisie, car les règles sont celles des puissances : $\mathrm{e}^{x + y} = \mathrm{e}^x\,\mathrm{e}^y, \qquad \mathrm{e}^x\,\mathrm{e}^{-x} = 1, \qquad \mathrm{e}^0 = 1, \qquad \mathrm{e}^1 = \mathrm{e}.$

Automatisme. On écrit désormais $\mathrm{e}^x$ partout. La dérivée de $x \mapsto \mathrm{e}^x$ est $x \mapsto \mathrm{e}^x$.