Modéliser une croissance ou une décroissance exponentielle

8.1 Reconnaitre une évolution exponentielle

• En continu : la vitesse de variation est proportionnelle à la valeur, $f' = k\,f$. Alors $f(t) = f(0)\,\mathrm{e}^{kt}$. On le vérifie en dérivant, et on admet que c'est la seule possibilité.
• Sur des mesures à intervalles réguliers : le rapport de deux mesures successives est constant.

Si $k > 0$, c'est une croissance. Si $k < 0$, c'est une décroissance.

8.2 Une croissance : un levain

Exemple 25. Un levain pèse $50$ grammes à l'instant $0$, et sa masse suit $m(t) = 50\,\mathrm{e}^{0{,}2t}$, où $t$ est en heures. Alors $m'(t) = 10\,\mathrm{e}^{0{,}2t} = 0{,}2\,m(t) :$ la vitesse est bien proportionnelle à la masse.

$t$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$m(t)$ (valeur approchée)	$50$	$61$	$75$	$91$	$111$

Le rapport de deux valeurs successives reste proche de $\mathrm{e}^{0{,}2} \approx 1{,}22$.

8.3 Une équation sans solution exacte à notre niveau

Exemple 26. Quand le levain aura-t-il triplé ? On cherche $t$ tel que $\mathrm{e}^{0{,}2t} = 3$. Nos outils ne permettent pas de résoudre cette équation de manière exacte. On utilise une valeur donnée : $\mathrm{e}^{1{,}1} \approx 3$. Il faut donc $0{,}2t \approx 1{,}1$, soit $t \approx 5{,}5$. Le levain triple en $5$ h $30$ min environ. Et comme $m(t + 5{,}5) \approx 3\,m(t)$, il triple encore pendant les $5$ h $30$ min suivantes, quelle que soit sa masse.

8.4 Une décroissance radioactive

Le nombre de noyaux qui disparaissent en une année est proportionnel au nombre de noyaux présents.

Exemple 27. Pour le césium 137, $N(t) = N_0\,\mathrm{e}^{-0{,}023t}$, où $t$ est en années. Avec $\mathrm{e}^{-0{,}69} \approx 0{,}5$ : $N(30) = N_0\,\mathrm{e}^{-0{,}023 \times 30} = N_0\,\mathrm{e}^{-0{,}69} \approx 0{,}5\,N_0.$ La moitié des noyaux a disparu.

8.5 La demi-vie

Pour tout instant $t$, $N(t + 30) = N(t) \times \mathrm{e}^{-0{,}69} \approx 0{,}5\,N(t)$ : à partir de n'importe quel instant, il faut $30$ ans pour diviser par deux. Cette durée s'appelle la demi-vie.

Selon le modèle, la courbe ne touche jamais l'axe des abscisses.

8.6 Une dilution

Exemple 28. Un bassin de $1000$ litres contient un colorant, à la concentration de $8$ grammes par litre. On fait entrer de l'eau claire, et le mélange sort au même débit, $100$ litres par minute. La concentration suit $c(t) = 8\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}$, où $t$ est en minutes.

Après $10$ minutes, $c(10) = 8\,\mathrm{e}^{-1} \approx 2{,}9$ grammes par litre. De plus, $c'(t) = -0{,}8\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}$, donc $c'(0) = -0{,}8$ : au départ, la concentration baisse de $0{,}8$ gramme par litre par minute, puis de moins en moins vite.

8.7 La méthode

1. Repérer ce qui est proportionnel ; fixer la variable et son unité.
2. Écrire $f(t) = f(0)\,\mathrm{e}^{kt}$, avec le bon signe de $k$.
3. Dériver : sens de variation et vitesse.
4. Répondre, avec une valeur donnée si l'équation ne se résout pas.
5. Conclure par une phrase, avec l'unité. Un modèle a ses limites : il décrit bien la réalité sur une certaine période seulement.