Valeur approchée de e avec Python

9.1 Des intérêts de plus en plus fréquents

Un euro est placé un an à $100\,\%$.

Plus on verse souvent, plus on gagne, mais le gain semble se stabiliser.

9.2 Le lien avec la méthode d'Euler

Avec un pas $h = \dfrac{1}{n}$, on atteint $x = 1$ en $n$ pas, et chaque pas multiplie par $1 + \dfrac{1}{n}$. On obtient exactement $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx \exp(1) = \mathrm{e},$ une valeur approchée d'autant meilleure que $n$ est grand.

9.3 Le programme

def u(n):
    return (1 + 1 / n) ** n

for k in range(1, 7):
    n = 10 ** k
    print(n, u(n))

9.4 Les résultats

Exemple 29.

n	u(n)
10	2.5937424601000023
100	2.7048138294215285
1000	2.7169239322355936
10000	2.7181459268249255
100000	2.7182682371922975
1000000	2.7182804690957534

Python donne e (avec from math import e) : 2.718281828459045. Pour $n = 1\,000\,000$, cinq décimales sont justes. Chaque fois que $n$ est multiplié par $10$, on gagne environ une décimale.

Ces résultats permettent de conjecturer que la suite se rapproche de $\mathrm{e}$ quand $n$ devient grand. L'exercice 18 le justifie par un encadrement.

9.5 Un seuil

from math import e

def seuil(p):
    n = 1
    while e - u(n) >= p:
        n = n + 1
    return n

Exemple 30. seuil(0.1) renvoie 13 et seuil(0.01) renvoie 135.

9.6 Les limites de la machine

Exemple 31. u(10**15) affiche 3.035035206549262, et u(10**16) affiche 1.0. La machine garde un nombre limité de chiffres : pour $n = 10^{16}$, elle remplace $1 + \dfrac{1}{n}$ par $1$, et $1^n = 1$. Ce n'est pas la suite qui a changé, c'est le calcul. Un résultat numérique se vérifie toujours.