Taux de variation et pente d'une sécante

1.1 Une situation

Exemple 1 (une montgolfière). Pendant les six premières minutes de vol, l'altitude d'une montgolfière, en mètres, est donnée par $z(t) = -5t^2 + 60t$, où $t$ est le temps en minutes, avec $0 \leq t \leq 6$.

$t$ (min)	$0$	$2$	$4$	$6$
$z(t)$ (m)	$0$	$100$	$160$	$180$

Entre les minutes $0$ et $2$, elle gagne $100$ mètres en $2$ minutes : $\dfrac{100 - 0}{2 - 0} = 50$ mètres par minute en moyenne.

Entre les minutes $2$ et $6$, elle gagne $80$ mètres en $4$ minutes : $\dfrac{180 - 100}{6 - 2} = 20$ mètres par minute en moyenne. La montée ralentit.

À chaque fois, on a divisé la variation de l'altitude par la variation du temps.

1.2 Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, et soient $a$ et $b$ deux nombres distincts de $I$. Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ est le quotient $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$

C'est la variation de l'image divisée par la variation de la variable. En physique, on écrit souvent $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.

• Le dénominateur n'est jamais nul, car $a \neq b$.
• Échanger $a$ et $b$ ne change pas le résultat : $\dfrac{f(a) - f(b)}{a - b} = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$.

1.3 Calculer un taux de variation

Exemple 2. Pour la fonction carré $f(x) = x^2$, entre $1$ et $3$ : $\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{3 - 1} = \frac82 = 4.$

Exemple 3. Pour la fonction inverse $g(x) = \dfrac1x$, entre $1$ et $2$ : $\frac{g(2) - g(1)}{2 - 1} = \frac{\frac12 - 1}{1} = -\frac12.$

Un taux positif signifie qu'entre $a$ et $b$, la fonction augmente en moyenne. Un taux négatif signifie qu'elle diminue en moyenne.

1.4 Pente d'une sécante

Une sécante à une courbe est une droite qui passe par deux points de cette courbe.

Automatisme (coefficient directeur). Si une droite passe par $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$, avec $x_A \neq x_B$, son coefficient directeur est $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}.$

Si $A$ et $B$ sont les points de la courbe de $f$ d'abscisses $a$ et $b$, alors $y_A = f(a)$ et $y_B = f(b)$. On retrouve exactement le taux de variation. Ainsi :

Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ est la pente (le coefficient directeur) de la sécante passant par les points de la courbe d'abscisses $a$ et $b$.

Exemple 4. Sur la courbe de la fonction carré, $A(1\,;1)$ et $B(3\,;9)$. De $A$ à $B$, on avance de $2$ et on monte de $8$ : la pente de la sécante $(AB)$ vaut $\dfrac82 = 4$, le taux de l'exemple 2.

1.5 Ce que dit un taux, et ce qu'il ne dit pas

L'unité. Un taux de variation s'exprime dans l'unité de $f(x)$ divisée par l'unité de $x$. Pour la montgolfière, ce sont des mètres par minute.

Une moyenne. Un taux ne décrit que la différence entre deux points. Il ne dit rien de ce qui se passe entre les deux.

Exemple 5. Pour la fonction carré, entre $-2$ et $2$ : $\frac{f(2) - f(-2)}{2 - (-2)} = \frac{4 - 4}{4} = 0.$ Le taux est nul, et pourtant la fonction n'est pas constante.

1.6 Le cas des fonctions affines

Si $f(x) = mx + p$, alors, pour $a \neq b$ : $\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{mb + p - ma - p}{b - a} = \frac{m(b - a)}{b - a} = m.$

Le taux vaut $m$, quels que soient $a$ et $b$. C'est normal : la courbe est une droite, et toutes ses sécantes sont cette même droite. Sur une courbe qui n'est pas une droite, la pente dépend des deux points choisis. D'où la question de la leçon suivante : comment parler de la pente en un seul point ?