Équation de la tangente

4.1 La propriété

Propriété. La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ est la droite d'équation $y = f(a) + f'(a)(x - a).$

Le statut des lettres est important.

• $a$ est un paramètre : un nombre fixé.
• $f(a)$ et $f'(a)$ sont donc des nombres fixés.
• $x$ et $y$ sont les variables : ce sont les coordonnées d'un point quelconque de la droite.

4.2 Démonstration (à connaître)

Démonstration. La tangente a pour coefficient directeur $f'(a)$. Elle n'est donc pas verticale, et elle a une équation réduite de la forme $y = f'(a)\,x + p$.

Le point $A(a\,;f(a))$ est sur la droite, donc ses coordonnées vérifient l'équation : $f(a) = f'(a) \times a + p, \quad \text{d'où} \quad p = f(a) - f'(a) \times a.$

En remplaçant : $y = f'(a)\,x + f(a) - f'(a) \times a$. En mettant $f'(a)$ en facteur, on obtient $y = f(a) + f'(a)(x - a). \qquad \blacksquare$

4.3 Exemples

Pour écrire l'équation, il faut deux nombres : $f(a)$ et $f'(a)$.

Exemple 12. Pour la fonction carré, en $a = 3$. On a $f(3) = 9$. Puis $(3 + h)^2 - 9 = 6h + h^2$, donc le taux vaut $6 + h$, et $f'(3) = 6$. La tangente a pour équation $y = 9 + 6(x - 3)$, soit, en développant, $y = 6x - 18 + 9$, c'est-à-dire $y = 6x - 9$.

Vérification avec le point $A$ : $6 \times 3 - 9 = 9 = f(3)$.

Exemple 13. Pour la fonction inverse, en $a = 1$. On a $f(1) = 1$, et le taux vaut $\frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \frac{1}{h}\left(\frac{1}{1 + h} - 1\right) = \frac{-1}{1 + h},$ donc $f'(1) = -1$. La tangente a pour équation $y = 1 + (-1)(x - 1) = 1 - (x - 1)$, soit $y = -x + 2$.

Attention : le signe moins porte sur toute la parenthèse.

Exemple 14 (quand $a$ est négatif). Si $f(-1) = 2$ et $f'(-1) = 3$, alors $x - a = x - (-1) = x + 1$. La tangente a pour équation $y = 2 + 3(x + 1)$, soit $y = 3x + 5$.

4.4 Lire dans l'autre sens

Si l'on connaît la tangente, on retrouve $f'(a)$ et $f(a)$ : le coefficient directeur donne $f'(a)$, et le point $A$, qui est sur la droite, donne $f(a)$.

Exemple 15. La tangente au point d'abscisse $2$ a pour équation $y = -3x + 7$. Alors $f'(2) = -3$, et $f(2) = -3 \times 2 + 7 = 1$.