Le nombre dérivé en contexte

6.1 Vitesse moyenne et vitesse instantanée

Exemple 21 (une luge). Une luge descend une piste. La distance parcourue, en mètres, après $t$ secondes est $d(t) = 0{,}5\,t^2$.

Vitesse moyenne. On a $d(2) = 2$ et $d(4) = 8$. Entre ces deux instants, la vitesse moyenne est $\frac{d(4) - d(2)}{4 - 2} = \frac{8 - 2}{2} = 3 \text{ m/s}.$

Vitesse instantanée. À l'instant $t = 4$, on prend une durée $h$ très courte : $\frac{d(4 + h) - d(4)}{h} = \frac{0{,}5(4 + h)^2 - 8}{h} = \frac{4h + 0{,}5h^2}{h} = 4 + 0{,}5h.$ Ce taux se rapproche de $4$ : $d'(4) = 4$. À cet instant, la luge va à $4$ mètres par seconde.

En cinématique, un taux de variation est une vitesse moyenne, et un nombre dérivé est une vitesse instantanée, celle qu'afficherait un compteur. Sur le graphique, ce sont la pente d'une sécante et la pente d'une tangente.

6.2 Deux notations à connaître

Dans les autres disciplines, on rencontre d'autres écritures.

• Le taux de variation s'écrit $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.
• Le nombre dérivé s'écrit $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ : si $y = f(x)$, alors $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f'(x)$.

On adapte les lettres au contexte. Pour une position $x = f(t)$, on écrit $\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ : c'est la vitesse. Pour une quantité $q = f(t)$, on écrit $\dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$. Cette écriture rappelle l'unité : $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ s'exprime dans l'unité de $y$ divisée par l'unité de $x$.

6.3 Le coût marginal

Le coût marginal est ce que coûte une unité de plus.

Exemple 22 (une savonnerie). Le coût total, en euros, de fabrication de $q$ savons est $C(q) = 0{,}02q^2 + 3q + 300$. Pour $100$ savons, $C(100) = 800$ euros.

Le cent unième savon coûte $C(101) - C(100) = 807{,}02 - 800 = 7{,}02$ euros.

Le nombre dérivé en $100$ se calcule : $C(100 + h) - C(100) = 7h + 0{,}02h^2$, donc le taux vaut $7 + 0{,}02h$, et $C'(100) = 7$.

Les deux nombres sont presque égaux : c'est l'approximation linéaire avec $h = 1$, soit $C(101) \approx C(100) + C'(100)$. Voilà pourquoi, en économie, on assimile le coût marginal au nombre dérivé du coût total.

6.4 Une seule idée

Le nombre dérivé mesure toujours à quelle vitesse une grandeur change quand une autre change, en un point précis.

Réflexe : pour interpréter un nombre dérivé, commence par chercher son unité.