Limites infinies, asymptote verticale

2.1 Limite infinie en $+\infty$ ou en $-\infty$

Définition. La fonction $f$ a pour limite $+\infty$ en $+\infty$ si tout intervalle $[A\,;+\infty[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand. On note $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$.

De même :

• $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = -\infty$ si tout intervalle $]-\infty\,;A]$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand ;
• en $-\infty$, on remplace « pour $x$ assez grand » par « dès que $x$ est inférieur à un certain réel ».

Exemple 4 (racine carrée). $\sqrt{x} \geq 100$ dès que $x \geq 10\,000$. Plus généralement, pour tout réel $A > 0$, $\sqrt{x} \geq A$ dès que $x \geq A^2$ (la fonction racine carrée est croissante). Donc $\lim_{x\to+\infty} \sqrt{x} = +\infty,$ même si $\sqrt{x}$ grandit lentement.

Exemple 5. $\lim\limits_{x\to-\infty} x^2 = +\infty$ et $\lim\limits_{x\to-\infty} x^3 = -\infty$ (leçon 3).

Une fonction n'a pas toujours de limite. La fonction cosinus oscille entre $-1$ et $1$ : elle prend la valeur $1$ en tous les $2k\pi$ et la valeur $-1$ en tous les $(2k + 1)\pi$, aussi loin qu'on aille. Elle n'a pas de limite en $+\infty$.

Écrire la négation (partie « vocabulaire et logique »). « $f$ a pour limite $+\infty$ en $+\infty$ » s'écrit : pour tout réel $A$, il existe un réel $B$ tel que, pour tout $x > B$, $f(x) \geq A$. Sa négation est :

il existe un réel $A$ tel que, pour tout réel $B$, il existe un réel $x > B$ avec $f(x) < A$.

Pour la fonction cosinus, $A = 2$ convient : $\cos x < 2$ pour tout réel $x$.

2.2 Limite infinie en un réel

Définition. Soit $a$ un réel (qui est dans l'ensemble de définition de $f$, ou qui en est une borne). La fonction $f$ a pour limite $+\infty$ en $a$ si tout intervalle $[A\,;+\infty[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez proche de $a$ ($x \neq a$). On note $\lim\limits_{x\to a} f(x) = +\infty$. On définit de même $\lim\limits_{x\to a} f(x) = -\infty$.

« Pour $x$ assez proche de $a$ » signifie : pour tout $x$ de l'ensemble de définition, différent de $a$, dans un intervalle $]a - h\,;a + h[$ avec $h > 0$.

Exemple 6. $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$, définie pour $x \neq 0$.

• $\dfrac{1}{x^2} \geq 10\,000 \iff x^2 \leq 0{,}0001 \iff -0{,}01 \leq x \leq 0{,}01$ (avec $x \neq 0$).
• Avec $A = 4$ : $\dfrac{1}{x^2} \geq 4$ dès que $-0{,}5 \leq x \leq 0{,}5$, $x \neq 0$.
• Pour tout $A > 0$ : $\dfrac{1}{x^2} \geq A$ dès que $0 < |x| \leq \dfrac{1}{\sqrt{A}}$.

Donc $\lim\limits_{x\to0} \dfrac{1}{x^2} = +\infty$.

2.3 Limite à gauche, limite à droite

Parfois, la limite dépend du côté par lequel $x$ s'approche de $a$.

• Limite à droite : $x$ tend vers $a$ en restant supérieur à $a$. On note $\lim\limits_{x\to a^+} f(x)$ ou $\lim\limits_{\substack{x\to a\\x>a}} f(x)$.
• Limite à gauche : $x$ tend vers $a$ en restant inférieur à $a$. On note $\lim\limits_{x\to a^-} f(x)$ ou $\lim\limits_{\substack{x\to a\\x<a}} f(x)$.

Exemple 7 (fonction inverse en $0$). $\lim_{x\to0^+} \frac1x = +\infty \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to0^-} \frac1x = -\infty.$ En effet, pour tout $A > 0$ : si $0 < x \leq \dfrac1A$, alors $\dfrac1x \geq A$ ; si $-\dfrac1A \leq x < 0$, alors $\dfrac1x \leq -A$.

2.4 Asymptote verticale

Définition. Si $f(x)$ tend vers $+\infty$ ou vers $-\infty$ quand $x$ tend vers $a$ (éventuellement seulement à gauche ou seulement à droite), la droite d'équation $x = a$ est asymptote verticale à la courbe de $f$.

• Pour $x \mapsto \dfrac1x$ : l'axe des ordonnées ($x = 0$) est asymptote verticale, et l'axe des abscisses ($y = 0$) est asymptote horizontale en $+\infty$ et en $-\infty$.
• Pour $x \mapsto \dfrac{1}{x^2}$ : l'axe des ordonnées est asymptote verticale.

2.5 Lire un graphique

Exemple 8. Une fonction $f$, définie pour $x \neq 2$, a une courbe qui longe la droite verticale $x = 2$ (vers le haut à droite de $2$, vers le bas à gauche) et qui se rapproche de la droite $y = 1$ des deux côtés. On lit : $\lim_{x\to2^+} f(x) = +\infty,\quad \lim_{x\to2^-} f(x) = -\infty,\quad \lim_{x\to+\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty} f(x) = 1.$ Les droites $x = 2$ et $y = 1$ sont asymptotes à la courbe. (La courbe de la vidéo est celle de $f(x) = 1 + \dfrac{1}{x-2}$.)