Opérations sur les limites

4.1 Les règles

Le programme précise : « Les opérations sur les limites sont admises. » Les règles sont les mêmes que pour les suites (chapitre 2, leçon 3), quand $x$ tend vers $+\infty$, vers $-\infty$ ou vers un réel $a$ (éventuellement à gauche ou à droite). $\ell$ et $\ell'$ désignent des réels ; « FI » signifie forme indéterminée.

Somme.

Produit.

Quotient.

Les quatre formes indéterminées : $\infty - \infty$, $\;0 \times \infty$, $\;\dfrac{\infty}{\infty}$, $\;\dfrac00$. Face à l'une d'elles, il faut transformer l'écriture.

Notation. On écrit $0^+$ (ou $0^-$) pour une quantité qui tend vers $0$ en restant positive (ou négative). Par exemple, $\dfrac{7}{0^+}$ résume « un numérateur qui tend vers $7$ divisé par un dénominateur qui tend vers $0$ en restant positif » : le quotient tend vers $+\infty$.

4.2 Le terme prépondérant

Le programme demande de savoir utiliser « la factorisation du terme prépondérant dans une somme ». En l'infini, on factorise par le terme qui « l'emporte ».

Exemple 11 (polynôme). $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 1$. En $+\infty$, c'est une forme $\infty - \infty$. Pour $x \neq 0$ : $P(x) = x^3\left(-2 + \frac5x - \frac{1}{x^3}\right).$ La parenthèse tend vers $-2$ (leçon 3 : $\frac5x \to 0$ et $\frac1{x^3} \to 0$).

• En $+\infty$ : $x^3 \to +\infty$, donc par produit $\lim\limits_{x\to+\infty} P(x) = -\infty$.
• En $-\infty$ : $x^3 \to -\infty$, donc $\lim\limits_{x\to-\infty} P(x) = +\infty$.

Règle. En $+\infty$ et en $-\infty$, un polynôme (non nul) a la même limite que son terme de plus haut degré.

Exemple 12 (quotient en l'infini). $f(x) = \dfrac{2x+1}{x-3}$, définie pour $x \neq 3$. En $+\infty$, forme $\frac{\infty}{\infty}$. Pour $x \neq 0$ et $x \neq 3$ : $f(x) = \frac{x\left(2 + \frac1x\right)}{x\left(1 - \frac3x\right)} = \frac{2 + \frac1x}{1 - \frac3x}.$ Le numérateur tend vers $2$ et le dénominateur vers $1$ : $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = 2$. Le calcul est le même en $-\infty$ : $\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) = 2$. La droite $y = 2$ est asymptote horizontale en $+\infty$ et en $-\infty$.

4.3 Un dénominateur qui tend vers $0$

Exemple 12 (suite) : limite en $3$. Le numérateur $2x + 1$ tend vers $7$ et le dénominateur $x - 3$ tend vers $0$. Son signe :

$x$	$-\infty$		$3$		$+\infty$
$x - 3$		$-$	$0$	$+$

• À droite de $3$ ($x > 3$) : forme $\frac{7}{0^+}$, donc $\lim\limits_{x\to3^+} f(x) = +\infty$.
• À gauche de $3$ ($x < 3$) : forme $\frac{7}{0^-}$, donc $\lim\limits_{x\to3^-} f(x) = -\infty$.

La droite $x = 3$ est asymptote verticale. On peut aussi écrire $f(x) = 2 + \dfrac{7}{x-3}$ : la courbe est au-dessus de l'asymptote $y = 2$ pour $x > 3$ et au-dessous pour $x < 3$.

Exemple 13 (forme $\frac00$ en un réel). $g(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$, en $3$ : numérateur et dénominateur tendent vers $0$. On factorise $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$, et pour $x \neq 3$, $g(x) = x + 3$. Donc $\lim\limits_{x\to3} g(x) = 6$. La limite est finie : pas d'asymptote verticale. La courbe de $g$ est la droite $y = x + 3$ privée du point $(3\,;6)$.

Méthode. Quand un dénominateur tend vers $0$ en $a$ :

• si le numérateur tend vers un réel non nul, on étudie le signe du dénominateur : limites infinies à gauche et à droite, asymptote verticale $x = a$ ;
• si le numérateur tend aussi vers $0$ (forme $\frac00$), on factorise pour simplifier.

4.4 Avec l'exponentielle

Exemple 14. En $+\infty$, $\mathrm{e}^{2x} - \mathrm{e}^x$ est une forme $\infty - \infty$. Comme $\mathrm{e}^{2x} = \left(\mathrm{e}^x\right)^2$ : $\mathrm{e}^{2x} - \mathrm{e}^x = \mathrm{e}^x\left(\mathrm{e}^x - 1\right).$ Les deux facteurs tendent vers $+\infty$ : $\lim\limits_{x\to+\infty} \left(\mathrm{e}^{2x} - \mathrm{e}^x\right) = +\infty$.

À noter. $\mathrm{e}^{-x} = \dfrac{1}{\mathrm{e}^x}$ ; par quotient, $\lim\limits_{x\to+\infty} \mathrm{e}^{-x} = 0$ et $\lim\limits_{x\to-\infty} \mathrm{e}^{-x} = +\infty$. Par exemple, $\dfrac{\mathrm{e}^x - 1}{\mathrm{e}^x + 1} = \dfrac{1 - \mathrm{e}^{-x}}{1 + \mathrm{e}^{-x}}$ tend vers $1$ en $+\infty$ (exercice 7).