Tableau croisé, fréquences marginales et conditionnelles

2.1 Proportions

La proportion d'une partie dans un ensemble est l'effectif de la partie, divisé par l'effectif total. Elle s'écrit de trois façons : $\dfrac{300}{400} = \dfrac34 = 0{,}75 = 75\,\%$.

Automatisme. Pour retrouver un effectif, on multiplie : $75\,\%$ de $400$, c'est $0{,}75 \times 400 = 300$.

2.2 Tableau croisé

Un tableau croisé d'effectifs répartit une population selon deux caractères. Chaque case compte les individus qui ont les deux caractères à la fois. Les totaux se lisent dans les marges.

Exemple 7 (le camping). Un soir d'août, un camping accueille $400$ vacanciers. On note leur origine et leur hébergement.

	Tente	Bungalow	Total
France	$120$	$180$	$300$
Étranger	$80$	$20$	$100$
Total	$200$	$200$	$400$

2.3 Fréquences marginales

Une fréquence marginale est un total de ligne ou de colonne, divisé par l'effectif total. Elle porte sur toute la population et sur un seul caractère.

Exemple 7 (suite). Les vacanciers venus de France représentent $\dfrac{300}{400} = 75\,\%$ du camping ; ceux qui dorment sous tente en représentent $\dfrac{200}{400} = 50\,\%$.

2.4 Fréquences conditionnelles

Une fréquence conditionnelle se calcule à l'intérieur d'une sous-population : on ne regarde qu'une ligne ou qu'une colonne. Le dénominateur est l'effectif de cette sous-population.

Exemple 7 (suite). Parmi les vacanciers venus de France, $\dfrac{120}{300} = 40\,\%$ dorment sous tente. Parmi ceux venus de l'étranger, $\dfrac{80}{100} = 80\,\%$. La tente est deux fois plus fréquente chez les vacanciers étrangers.

2.5 Parmi qui ?

Le même numérateur peut donner des fréquences très différentes.

Exemple 7 (suite). $40\,\%$ des vacanciers venus de France dorment sous tente : c'est $\dfrac{120}{300}$. Mais parmi les vacanciers sous tente, ceux qui viennent de France sont $\dfrac{120}{200} = 60\,\%$.

Attention. Devant un pourcentage, demande-toi toujours : parmi qui ? Ce groupe donne le dénominateur. Les phrases « $40\,\%$ des vacanciers venus de France dorment sous tente » et « $40\,\%$ des vacanciers sous tente viennent de France » n'ont pas le même sens.

2.6 Compléter un tableau

Exemple 8 (un refuge). Un refuge accueille $200$ animaux : $120$ chiens et $80$ chats. On sait que $30\,\%$ des chiens et $25\,\%$ des chats sont jeunes. On calcule d'abord $0{,}3 \times 120 = 36$ et $0{,}25 \times 80 = 20$. On complète par soustraction, $120 - 36 = 84$ et $80 - 20 = 60$, puis on additionne les colonnes.

	Jeune	Adulte	Total
Chiens	$36$	$84$	$120$
Chats	$20$	$60$	$80$
Total	$56$	$144$	$200$

2.7 Proportion d'une proportion

La proportion d'une proportion s'obtient par un produit.

Exemple 8 (suite). Les chiens sont $60\,\%$ des animaux, et les chiots sont $30\,\%$ des chiens. Les chiots représentent donc $0{,}6 \times 0{,}3 = 0{,}18$, soit $18\,\%$ des animaux. Le tableau le confirme : $\dfrac{36}{200} = 0{,}18$.