Probabilité conditionnelle

3.1 Du tableau aux probabilités

Quand on choisit un individu au hasard dans une population, chacun a la même probabilité d'être choisi. Une probabilité est alors une proportion, et les fréquences du tableau deviennent des probabilités.

Exemple 9. Au camping (exemple 7), on choisit un vacancier au hasard. On note $F$ : « il vient de France » et $T$ : « il dort sous tente ». Alors $P(F) = \dfrac{300}{400} = 0{,}75$, $P(T) = \dfrac{200}{400} = 0{,}5$ et $P(F \cap T) = \dfrac{120}{400} = 0{,}3$.

3.2 Définition

Si l'on sait que le vacancier vient de France, on reste dans la ligne France : la probabilité qu'il dorme sous tente vaut $\dfrac{120}{300} = 0{,}4$. L'information a réduit l'univers.

Définition. Soit $A$ un évènement tel que $P(A) \neq 0$. La probabilité de $B$ sachant $A$ est le nombre $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}.$

En cas d'équiprobabilité, on a aussi $P_A(B) = \frac{\mathrm{Card}(A \cap B)}{\mathrm{Card}(A)}.$

Exemple 9 (suite). $P_F(T) = \dfrac{P(F \cap T)}{P(F)} = \dfrac{0{,}3}{0{,}75} = 0{,}4$. C'est le résultat trouvé avec les effectifs, car $\dfrac{120}{300} = \dfrac{120/400}{300/400}$.

3.3 Lire la notation

Dans $P_A(B)$, l'évènement en indice est celui qu'on sait réalisé : il devient le nouvel univers. L'évènement entre parenthèses est celui qu'on cherche. Une probabilité conditionnelle reste une probabilité : $0 \leq P_A(B) \leq 1$.

Exemple 10 (une information change une probabilité). On lance un dé équilibré à six faces. On note $A$ : « le résultat est au moins $4$ » et $B$ : « le résultat est pair ». Sans information, $P(B) = \dfrac36 = \dfrac12$. Sachant $A$, il reste les issues $4$, $5$ et $6$, dont deux sont paires : $P_A(B) = \dfrac23$. Avec la formule : $P_A(B) = \dfrac{2/6}{3/6} = \dfrac23$.

3.4 La formule dans les deux sens

En multipliant par $P(A)$, on obtient la formule du produit : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B).$

Exemple 11. Si $P(A) = 0{,}5$ et $P(A \cap B) = 0{,}2$, alors $P_A(B) = \dfrac{0{,}2}{0{,}5} = 0{,}4$. Si $P(A) = 0{,}6$ et $P_A(B) = 0{,}5$, alors $P(A \cap B) = 0{,}6 \times 0{,}5 = 0{,}3$.

C'est la « proportion d'une proportion » de la leçon 2.

3.5 Le contraire, sachant $A$

Quand on sait que $A$ est réalisé, ou bien $B$ a lieu, ou bien il n'a pas lieu : $P_A(B) + P_A\left(\overline{B}\right) = 1.$

Exemple 9 (suite). $P_F(T) = 0{,}4$, donc $P_F\left(\overline{T}\right) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6$.

Attention. C'est le « sachant » qui reste le même. La somme $P_F(T) + P_{\overline{F}}(T)$ n'a aucune raison de valoir $1$ : ici, elle vaut $0{,}4 + 0{,}8 = 1{,}2$.