Indépendance de deux évènements

7.1 Définition

Définition. Soient $A$ et $B$ deux évènements, avec $P(B) \neq 0$. On dit que $A$ et $B$ sont indépendants si $P_B(A) = P(A).$ Autrement dit, savoir que $B$ est réalisé ne change pas la probabilité de $A$.

Exemple 18. Sur la roue, $A$ : « pair » et $B$ : « multiple de $3$ ». On a $P(A) = \dfrac12$. Sachant $B$, il reste $3$, $6$, $9$ et $12$, dont deux numéros pairs : $P_B(A) = \dfrac24 = \dfrac12$. Les évènements $A$ et $B$ sont indépendants.

7.2 Forme produit

Comme $P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$, dire que $P_B(A) = P(A)$ revient à dire que : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B).$

Cette formule est symétrique : $A$ et $B$ y jouent le même rôle. Si $P(A) \neq 0$, on a donc aussi $P_A(B) = P(B)$.

7.3 Justifier une indépendance

Par le calcul. On calcule séparément les deux membres de l'égalité.

Exemple 18 (suite). $P(A) \times P(B) = \dfrac12 \times \dfrac13 = \dfrac16$ et $P(A \cap B) = \dfrac{2}{12} = \dfrac16$ : $A$ et $B$ sont indépendants. Avec $C$ : « multiple de $4$ », on a $P(A) \times P(C) = \dfrac12 \times \dfrac14 = \dfrac18$, mais $P(A \cap C) = \dfrac{3}{12} = \dfrac14$ : $A$ et $C$ ne sont pas indépendants. C'est logique : un multiple de $4$ est toujours pair.

Sur un tableau croisé. On compare une fréquence conditionnelle et une fréquence marginale.

Exemple 19. Sur $200$ lycéens, $50$ jouent d'un instrument et $80$ font partie d'un club de sport ; $20$ font les deux.

	Instrument	Pas d'instrument	Total
Club	$20$	$60$	$80$
Pas de club	$30$	$90$	$120$
Total	$50$	$150$	$200$

Dans le club, la proportion de musiciens est $\dfrac{20}{80} = \dfrac14$ ; sur tous les lycéens, elle est $\dfrac{50}{200} = \dfrac14$. Les deux évènements sont indépendants.

Sur un arbre. Si les branches du second niveau portent les mêmes probabilités quel que soit le point de départ, alors les évènements sont indépendants.

Exemple 20. Si $P_A(B) = P_{\overline{A}}(B) = 0{,}7$, alors $P(B) = 0{,}7$ d'après la formule des probabilités totales, et $A$ et $B$ sont indépendants. Dans l'exemple 12, $P_C(R) = 0{,}8$ et $P_{\overline{C}}(R) = 0{,}5$ : $C$ et $R$ ne sont pas indépendants.

7.4 Indépendants ou incompatibles ?

Attention. Indépendants ne veut pas dire incompatibles. Deux évènements incompatibles ne peuvent pas se produire ensemble : si l'un a lieu, on sait que l'autre n'a pas lieu. Si $P(A) \neq 0$ et $P(B) \neq 0$, alors $P(A \cap B) = 0$ alors que $P(A) \times P(B) \neq 0$ : deux tels évènements ne sont pas indépendants.

7.5 Utiliser une indépendance

Propriété. Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\overline{B}$ le sont aussi, ainsi que $\overline{A}$ et $\overline{B}$.

En effet, $P\left(A \cap \overline{B}\right) = P(A) - P(A \cap B) = P(A) - P(A) \times P(B) = P(A)\big(1 - P(B)\big) = P(A) \times P\left(\overline{B}\right)$.

Exemple 21 (deux ascenseurs). Un immeuble a deux ascenseurs. Un jour donné, on note $A$ : « le premier est en panne », avec $P(A) = 0{,}1$, et $B$ : « le second est en panne », avec $P(B) = 0{,}05$. On suppose ces évènements indépendants.

• Les deux sont en panne : $P(A \cap B) = 0{,}1 \times 0{,}05 = 0{,}005$.
• Aucun n'est en panne : $P\left(\overline{A} \cap \overline{B}\right) = 0{,}9 \times 0{,}95 = 0{,}855$.
• Au moins un est en panne : $1 - 0{,}855 = 0{,}145$. On retrouve $0{,}1 + 0{,}05 - 0{,}005 = 0{,}145$.

7.6 Modèle et réalité

L'indépendance est une hypothèse du modèle. Si l'immeuble subit une coupure de courant, les deux ascenseurs s'arrêtent ensemble, et l'hypothèse tombe. Pour deux dés, on suppose l'indépendance parce que, physiquement, un dé n'agit pas sur l'autre. Dans un énoncé, l'indépendance est soit donnée, soit à justifier par un calcul.