Répétition d'épreuves de Bernoulli

9.1 Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues : le succès $S$, de probabilité $p$, et l'échec $\overline{S}$, de probabilité $1 - p$.

Exemple 25. Lancer une pièce, répondre à une question par vrai ou faux, tirer sur une cible sont des épreuves de Bernoulli. Un lancer de dé a six issues ; mais si on regarde seulement si on a obtenu un $6$, c'est une épreuve de Bernoulli, avec $p = \dfrac16$.

9.2 Répéter l'épreuve

On répète $n$ fois la même épreuve, de façon identique ($p$ reste le même) et indépendante (un résultat n'influence pas le suivant). Pour $n \leq 4$, on dessine l'arbre : il a $2$, $4$, $8$ ou $16$ chemins.

La probabilité d'un chemin est le produit de ses branches. L'ordre ne change pas un produit : tous les chemins qui ont le même nombre de succès ont la même probabilité.

Méthode. Pour exactement $k$ succès, on repère les chemins concernés et on additionne leurs probabilités.

Exemple 26 (la pétanque). Un joueur tente trois tirs. On suppose les tirs indépendants, et chacun réussi avec la probabilité $0{,}6$. C'est une hypothèse : elle néglige la fatigue ou la confiance. L'arbre a huit chemins.

Nombre de succès	Chemins	Probabilité d'un chemin	Probabilité
$3$	$1$	$0{,}6^3 = 0{,}216$	$0{,}216$
$2$	$3$	$0{,}6 \times 0{,}6 \times 0{,}4 = 0{,}144$	$3 \times 0{,}144 = 0{,}432$
$1$	$3$	$0{,}6 \times 0{,}4 \times 0{,}4 = 0{,}096$	$3 \times 0{,}096 = 0{,}288$
$0$	$1$	$0{,}4^3 = 0{,}064$	$0{,}064$

La somme vaut bien $1$.

9.3 Au moins un succès

Le contraire de « au moins un succès » est « aucun succès » : un seul chemin. C'est le calcul le plus court.

Exemple 26 (suite). $P(\text{au moins un succès}) = 1 - 0{,}4^3 = 1 - 0{,}064 = 0{,}936$.

9.4 Quatre épreuves

Exemple 27 (un questionnaire). Un questionnaire compte quatre questions, à répondre par vrai ou faux. On répond au hasard : $p = \dfrac12$. L'arbre a seize chemins, chacun de probabilité $\left(\dfrac12\right)^4 = \dfrac{1}{16}$. Exactement trois bonnes réponses : quatre chemins, car l'unique erreur est à la question $1$, $2$, $3$ ou $4$. La probabilité vaut $\dfrac{4}{16} = \dfrac14$. Au moins trois bonnes réponses : on ajoute le chemin des quatre bonnes réponses, soit $\dfrac{5}{16}$.